Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5306450

W trójkącie prostokątnym ABC o przeciwprostokątnej AB dane są wierzchołki A = (− 1,− 4) i C = (5,2) . Punkt B leży na prostej o równaniu y = 2x − 2 . Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Zauważmy, że znając współrzędne punktów A i C możemy dość łatwo napisać równania prostych AC i BC . Pierwsza z nich to po prostu prosta przechodząca przez A i C , a druga to prosta prostopadła do AC i przechodząca przez C .

Zaczynamy od prostej AC . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ − 4 = −a + b 2 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6 = 6a , czyli a = 1 . Współczynnika b możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny.

Prosta BC jest prostopadła do AC , więc ma postać y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punku C .

2 = −5 + b ⇒ b = 7.

Zatem prosta BC ma równanie: y = −x + 7 . Szukamy teraz punktu wspólnego B tej prostej z prostą podaną w treści zadania.

{ y = −x + 7 y = 2x − 2.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 3x − 9 ⇒ x = 3.

Stąd y = −x + 7 = 4 i B = (3,4 ) .

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym to trójkąt o środku w środku S przeciwprostokątnej i promieniu r równym połowie długości przeciwprostokątnej. W naszej sytuacji mamy

 ( ) A-+-B-- −-1-+-3 −-4+-4- S = 2 = 2 , 2 = (1,0) ∘ ------------------- √ --- r = AS = (1 + 1)2 + (0 + 4)2 = 20.

Okrąg opisany na trójkącie ABC ma więc równanie

 2 2 (x − 1 ) + y = 20.

 
Odpowiedź: (x − 1)2 + y2 = 20

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!