Zadanie nr 5306450

W trójkącie prostokątnym ABC o przeciwprostokątnej dane są wierzchołki A = (− 1,− 4) i C = (5,2) . Punkt leży na prostej o równaniu y = 2x − 2 . Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zauważmy, że znając współrzędne punktów i możemy dość łatwo napisać równania prostych i . Pierwsza z nich to po prostu prosta przechodząca przez i , a druga to prosta prostopadła do i przechodząca przez .

Zaczynamy od prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 4 = −a + b 2 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6 = 6a , czyli a = 1 . Współczynnika możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny.

Prosta jest prostopadła do , więc ma postać y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punku .

2 = −5 + b ⇒ b = 7.

Zatem prosta ma równanie: y = −x + 7 . Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z prostą podaną w treści zadania.

{ y = −x + 7 y = 2x − 2.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 3x − 9 ⇒ x = 3.

Stąd y = −x + 7 = 4 i B = (3,4 ) .

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym to trójkąt o środku w środku przeciwprostokątnej i promieniu równym połowie długości przeciwprostokątnej. W naszej sytuacji mamy