Zadanie nr 5522669
Dwa boki trójkąta prostokątnego są zawarte w prostych o równaniach
oraz
. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta
jeżeli wiadomo, że jego trzeci bok jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt
. Rozważ wszystkie możliwości.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Na początek wyznaczmy punkt wspólny podanych prostych – jest to jeden z wierzchołków trójkąta, powiedzmy .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

Stąd i
.
Podane dwie proste nie są prostopadłe, więc szukana prosta, zawierająca trzeci bok trójkąta , musi być prostopadła do jednej z podanych prostych.
Na początek spróbujmy znaleźć prostą prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt
. Szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktu
.

Jest to więc prosta . Szukamy punktów wspólnych tej prostej z danymi prostymi.

Najpierw rozwiązujemy pierwszy układ – odejmujemy od drugiego równania pierwsze.

Stąd i mamy punkt
.
Teraz rozwiązujemy drugi układ – odejmujemy od drugiego równania pierwsze.

Stąd i
.
Teraz zajmujemy się drugą możliwością, gdy trzeci bok trójkąta jest prostopadły do prostej . Szukamy teraz prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktu
.

Trzeci bok trójkąta ma w tym przypadku równanie . Tak jak poprzednio szukamy punktów wspólnych tej prostej z dwoma podanymi prostymi.

Rozwiązujemy najpierw pierwszy układ – odejmujemy od drugiego równania pierwsze.

Stąd i
.
Teraz rozwiązujemy drugi układ – odejmujemy od drugiego równania pierwsze.

Stąd i
.
Odpowiedź: lub