/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 6889022

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC : A = (− 3,− 3) i C = (2,7) oraz prosta o równaniu y = 34x− 34 , zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta.

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy szukany przez nas trójkąt prostokątny.

PIC

Sposób I

Napiszmy najpierw równanie prostej AC . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ −3 = − 3a+ b 7 = 2a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

10 = 5a ⇒ a = 2.

Współczynnika b nie obliczamy, bo nie będzie nam potrzebny.

Napiszemy teraz równanie prostej BC jest to prosta prostopadła do AC , więc ma równanie postaci y = − 1x+ b 2 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

1- 7 = − 2 ⋅2 + b ⇒ b = 8.

Zatem prosta BC ma równanie y = − 1x + 8 2 . Wyznaczamy teraz jej punkt wspólny B z podaną przeciwprostokątną AB .

{ y = 34x − 34 1 y = − 2x + 8

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

3 1 3 0 = -x + -x − --− 8 4 2 4 35- 5- 4 = 4x ⇒ x = 7.

Stąd y = 34 x− 34 = 184 = 92 i ( ) B = 7, 92 .

Pozostało obliczyć długość odcinka AB .

∘ --------------------- ( 9 ) 2 ∘ ------225-- ∘ 6-25 2 5 AB = (7 + 3)2 + --+ 3 = 100+ ----= ---- = ---. 2 4 4 2

Sposób II

Tym razem współrzędne punktu B = (x,y ) wyznaczymy pisząc twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC .

2 2 2 AB = AC + CB (x + 3)2 + (y + 3)2 = (2 + 3)2 + (7 + 3)2 + (x − 2)2 + (y− 7)2 2 2 2 2 x + 6x + 9 + y + 6y + 9 = 25+ 100 + x − 4x + 4 + y − 14y + 4 9 6x + 6y = − 4x − 14y + 16 0 10x + 20y = 160 / : 5 2x + 4y = 32.

Zauważmy teraz, że punkt B leży na podanej prostej 3 3 y = 4 x− 4 , więc mamy

( ) 2x + 4 ⋅ 3x − 3- = 32 4 4 2x + 3x − 3 = 32 5x = 3 5 ⇒ x = 7.

Stąd

y = 3-x− 3-= 18-= 9- 4 4 4 2

i ( ) B = 7, 92 . Długość odcinka AB obliczmy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: B = (7, 9) 2 i |AB | = 25 2

Wersja PDF