Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7353387

Przyprostokątna AB trójkąta prostokątnego ABC jest zawarta w prostej o równaniu 2y+ x + 6 = 0 , a środek jego przeciwprostokątnej BC ma współrzędne S = (9 ,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka C jeżeli  3√-10 cos∡ACB = 10 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Robiąc obrazek można zauważyć, że możliwe są dwie sytuacje: wszystko zależy od kolejności punktów A i B na danej prostej.

Po pierwsze zauważmy, że korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej, łatwo jest obliczyć długość przyprostokątnej AC trójkąta ABC .

 |0 + 9 + 6| 30 √ -- AC = 2SD = 2⋅ -√---------= √---= 6 5. 4 + 1 5

Teraz z podanego cosinusa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC .

 √ --- √ -- AC-- 3--10- -6--5 20-- √ -- BC = cosα = 10 ⇒ BC = 3√-10-= √ --= 10 2. 10 2

Zauważmy teraz, że w trójkącie prostokątnym środek S przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego. Tak jest, bo przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. W takim razie punkty A i B możemy wyznaczyć jako punkty wspólne danej prostej AB oraz okręgu o środku S i promieniu 1 √ -- 2 BC = 5 2 . Rozwiązujemy więc układ równań.

{ 2y + x + 6 = 0 (x − 9)2 + y2 = 50 .

Podstawiamy x = − 2y− 6 z pierwszego równania do drugiego.

 2 2 (− 2y − 15) + y = 50 5y2 + 60y + 17 5 = 0 / : 5 y2 + 12y + 35 = 0 Δ = 144 − 140 = 4 y = −1-2−--2-= − 7 ∨ y = −-12+--2-= − 5. 2 2

Wtedy odpowiednio x = − 2y− 6 = 8 i x = −2y − 6 = 4 . Zatem punkty A i B mają współrzędne (8,− 7) i (4,− 5) lub odwrotnie. W każdym z przypadku obliczamy współrzędne wierzchołka C – korzystamy z tego, że S jest środkiem odcinka BC .

 B + C S = ------ ⇒ C = 2S − B . 2

Zatem C = (18,0)− (4,− 5) = (14,5) lub C = (18,0) − (8,− 7) = (10,7 ) .  
Odpowiedź: C = (14,5) lub C = (10,7)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!