/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 7664875

Punkty A = (20,2 1) i  ( 40 ) B = − 3 ,− 4 są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC . Punkt S = (− 5,− 4) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


ZINFO-FIGURE


Zauważmy na początek, że łatwo jest obliczyć promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC – jest to po prostu odległość punktu S od prostej AB . Wyznaczmy więc równanie prostej AB – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 21 = 20a + b − 4 = − 40a + b. 3

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

 100 3 3 25 = ---a ⇒ a = ----⋅25 = -. 3 100 4

Stąd

b = 2 1− 20a = 21 − 15 = 6

i prosta AB ma równanie

 3- y = 4x + 6 /⋅ 4 4y − 3x − 2 4 = 0.

Liczymy teraz odległość punktu S od tej prostej.

r = |4⋅-(−-4-)√−-3-⋅(−-5)-−-24| = |−-16-+-15-−-24|-= 25-= 5. 42 + 32 5 5

Jeszcze jedna rzecz, którą łatwo obliczyć, to długość c = AB przeciwprostokątnej.

 ∘ (----------)----------------- 40 2 c = AB = − ---− 20 + (− 4− 21)2 = ∘ -----------3 ∘ ------- 1002 16 5 125 = -----+ 252 = 2 5 ---+ 1 = 25 ⋅--= ---. 9 9 3 3

Sposób I

Zastanówmy się, co jest nam potrzebne do obliczenia pola trójkąta ABC . Mamy promień okręgu wpisanego, więc będziemy chcieli wykorzystać następujący wzór na pole (prawdziwy dla dowolnego trójkąta)

 a-+-b-+-c P = pr = 2 ⋅r.

Znamy r , znamy c , brakuje nam a+ b . Tą sumę łatwo jednak wyznaczyć ze znanego wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c . W naszej sytuacji mamy więc

 a + b − c a+ b− 125- 5 = r = --------- = ---------3- / ⋅2 2 2 a+ b = 10 + 125-= 15-5. 3 3

Pole trójkąta ABC jest więc równe

 155 125 PABC = pr = a+--b+--c⋅r = -3-+---3-⋅5 = 140-⋅5 = 700. 2 2 3 3

Sposób II

Jeżeli nie wpadniemy na to, żeby skorzystać ze wzoru na promień wpisany w trójkąt prostokątny, to nie ma tragedii – zadanie nadal możemy rozwiązać w dość prosty sposób.

Oznaczmy przez D ,E ,F punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt ABC z jego bokami BC ,CA i AB odpowiednio. Zauważmy, że czworokąt SDCE jest kwadratem, więc

CD = CE = r = 5.

Ponadto BD = BF i AE = AF jako odcinki stycznych do okręgu. Zadanie sprowadza się więc do obliczenia długości odcinków BF i AF . Aby to zrobić wyznaczmy współrzędne punktu F . Podstawiamy y = 3x + 6 4 do równania

(x+ 5)2 + (y+ 4)2 = 25

okręgu wpisanego w trójkąt ABC .

 ( 3 )2 25 = (x + 5)2 + (y + 4)2 = (x + 5)2 + -x + 1 0 4 2 9--2 25 = x + 10x + 25 + 16x + 15x + 100 25 16 0 = ---x2 + 25x + 100 / ⋅--- 16 25 0 = x2 + 16x + 64 = (x+ 8)2.

Zatem x = − 8 , y = 3x + 6 = 0 4 i F = (− 8,0) . Stąd

 ∘ ----------------------- 2 2 √ ---------- √ ----- AF = (− 8− 20) + (0− 21) = 784 + 441 = 1225 = 35 125 20 BF = AB − AF = ----− 35 = ---. 3 3

Teraz bez problemu obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta ABC .

BC = BD + CD = BF + r = 20-+ 5 = 3-5 3 3 AC = AE + CE = AF + r = 35 + 5 = 40.

Pole trójkąta ABC jest więc równe

 1 1 35 700 PABC = --⋅BC ⋅AC = --⋅---⋅40 = ---. 2 2 3 3

 
Odpowiedź: 700 3

Wersja PDF
spinner