Zadanie nr 7664875
Punkty i
są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego
. Punkt
jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Zauważmy na początek, że łatwo jest obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt
– jest to po prostu odległość punktu
od prostej
. Wyznaczmy więc równanie prostej
– szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 21 = 20a + b − 4 = − 40a + b. 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR9x.png)
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy
![100 3 3 25 = ---a ⇒ a = ----⋅25 = -. 3 100 4](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR10x.png)
Stąd
![b = 2 1− 20a = 21 − 15 = 6](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR11x.png)
i prosta ma równanie
![3- y = 4x + 6 /⋅ 4 4y − 3x − 2 4 = 0.](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR13x.png)
Liczymy teraz odległość punktu od tej prostej.
![r = |4⋅-(−-4-)√−-3-⋅(−-5)-−-24| = |−-16-+-15-−-24|-= 25-= 5. 42 + 32 5 5](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR15x.png)
Jeszcze jedna rzecz, którą łatwo obliczyć, to długość przeciwprostokątnej.
![∘ (----------)----------------- 40 2 c = AB = − ---− 20 + (− 4− 21)2 = ∘ -----------3 ∘ ------- 1002 16 5 125 = -----+ 252 = 2 5 ---+ 1 = 25 ⋅--= ---. 9 9 3 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR17x.png)
Sposób I
Zastanówmy się, co jest nam potrzebne do obliczenia pola trójkąta . Mamy promień okręgu wpisanego, więc będziemy chcieli wykorzystać następujący wzór na pole (prawdziwy dla dowolnego trójkąta)
![a-+-b-+-c P = pr = 2 ⋅r.](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR19x.png)
Znamy , znamy
, brakuje nam
. Tą sumę łatwo jednak wyznaczyć ze znanego wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR23x.png)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. W naszej sytuacji mamy więc
![a + b − c a+ b− 125- 5 = r = --------- = ---------3- / ⋅2 2 2 a+ b = 10 + 125-= 15-5. 3 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR28x.png)
Pole trójkąta jest więc równe
![155 125 PABC = pr = a+--b+--c⋅r = -3-+---3-⋅5 = 140-⋅5 = 700. 2 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR30x.png)
Sposób II
Jeżeli nie wpadniemy na to, żeby skorzystać ze wzoru na promień wpisany w trójkąt prostokątny, to nie ma tragedii – zadanie nadal możemy rozwiązać w dość prosty sposób.
Oznaczmy przez punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt
z jego bokami
i
odpowiednio. Zauważmy, że czworokąt
jest kwadratem, więc
![CD = CE = r = 5.](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR36x.png)
Ponadto i
jako odcinki stycznych do okręgu. Zadanie sprowadza się więc do obliczenia długości odcinków
i
. Aby to zrobić wyznaczmy współrzędne punktu
. Podstawiamy
do równania
![(x+ 5)2 + (y+ 4)2 = 25](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR43x.png)
okręgu wpisanego w trójkąt .
![( 3 )2 25 = (x + 5)2 + (y + 4)2 = (x + 5)2 + -x + 1 0 4 2 9--2 25 = x + 10x + 25 + 16x + 15x + 100 25 16 0 = ---x2 + 25x + 100 / ⋅--- 16 25 0 = x2 + 16x + 64 = (x+ 8)2.](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR45x.png)
Zatem ,
i
. Stąd
![∘ ----------------------- 2 2 √ ---------- √ ----- AF = (− 8− 20) + (0− 21) = 784 + 441 = 1225 = 35 125 20 BF = AB − AF = ----− 35 = ---. 3 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR49x.png)
Teraz bez problemu obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta .
![BC = BD + CD = BF + r = 20-+ 5 = 3-5 3 3 AC = AE + CE = AF + r = 35 + 5 = 40.](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR51x.png)
Pole trójkąta jest więc równe
![1 1 35 700 PABC = --⋅BC ⋅AC = --⋅---⋅40 = ---. 2 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/7664875/HzadR53x.png)
Odpowiedź: