Zadanie nr 7664875

Punkty A = (20,2 1) i ( 40 ) B = − 3 ,− 4 są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC . Punkt S = (− 5,− 4) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy na początek, że łatwo jest obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC – jest to po prostu odległość punktu od prostej . Wyznaczmy więc równanie prostej – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 21 = 20a + b − 4 = − 40a + b. 3

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

100 3 3 25 = ---a ⇒ a = ----⋅25 = -. 3 100 4

Stąd

b = 2 1− 20a = 21 − 15 = 6

i prosta ma równanie

3- y = 4x + 6 /⋅ 4 4y − 3x − 2 4 = 0.

Liczymy teraz odległość punktu od tej prostej.

r = |4⋅-(−-4-)√−-3-⋅(−-5)-−-24| = |−-16-+-15-−-24|-= 25-= 5. 42 + 32 5 5

Jeszcze jedna rzecz, którą łatwo obliczyć, to długość c = AB przeciwprostokątnej.

∘ (----------)----------------- 40 2 c = AB = − ---− 20 + (− 4− 21)2 = ∘ -----------3 ∘ ------- 1002 16 5 125 = -----+ 252 = 2 5 ---+ 1 = 25 ⋅--= ---. 9 9 3 3

Sposób I

Zastanówmy się, co jest nam potrzebne do obliczenia pola trójkąta ABC . Mamy promień okręgu wpisanego, więc będziemy chcieli wykorzystać następujący wzór na pole (prawdziwy dla dowolnego trójkąta)

a-+-b-+-c P = pr = 2 ⋅r.

Znamy , znamy , brakuje nam a+ b . Tą sumę łatwo jednak wyznaczyć ze znanego wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i oraz przeciwprostokątnej długości . W naszej sytuacji mamy więc

a + b − c a+ b− 125- 5 = r = --------- = ---------3- / ⋅2 2 2 a+ b = 10 + 125-= 15-5. 3 3

Pole trójkąta ABC jest więc równe

155 125 PABC = pr = a+--b+--c⋅r = -3-+---3-⋅5 = 140-⋅5 = 700. 2 2 3 3

Sposób II

Jeżeli nie wpadniemy na to, żeby skorzystać ze wzoru na promień wpisany w trójkąt prostokątny, to nie ma tragedii – zadanie nadal możemy rozwiązać w dość prosty sposób.

Oznaczmy przez D ,E ,F punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt ABC z jego bokami BC ,CA i odpowiednio. Zauważmy, że czworokąt SDCE jest kwadratem, więc

CD = CE = r = 5.

Ponadto BD = BF i AE = AF jako odcinki stycznych do okręgu. Zadanie sprowadza się więc do obliczenia długości odcinków i . Aby to zrobić wyznaczmy współrzędne punktu . Podstawiamy y = 3x + 6 4 do równania