/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 7668134

Punkt A = (0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC , którego wierzchołek C leży na osi Ox , a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka A przecina przeciwprostokątną BC w punkcie D = (− 3,5) .

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej BC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od napisania równania wysokości AD . Jest to prosta postaci y = ax (bo przechodzi przez początek układu współrzędnych). Współczynnik a wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

5 = − 3a ⇒ a = − 5. 3

To oznacza, że współczynnik kierunkowy prostej BC , która jest prostopadła do AD jest równy 35 . Ma więc ona równanie postaci y = 35x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

3- 9- 34- 5 = 5 ⋅(− 3)+ b ⇒ b = 5 + 5 = 5 .

Prosta BC ma więc równanie y = 3x + 34- 5 5 . W szczególności ( ) B = 0, 34- 5 . Aby wyznaczyć współrzędne punktu C rozwiązujemy równanie

3 34 5 -x + ---= 0 / ⋅-- 5 5 3 x = − 34-⋅ 5-= − 34-. 5 3 3

Zatem ( 34 ) C = − -3 ,0 . Pozostało obliczyć długość odcinka BC .

∘ (---------)-2---(-------)-2 34- 34- BC = − 3 − 0 + 0− 5 = ∘ ----(--------)- ∘ ------ √ --- √ --- 1 1 34 34 34 34 = 342 --+ --- = 34 ------= 34 ⋅-----= -------. 9 25 9 ⋅25 3 ⋅5 15

 
Odpowiedź: ( ) B = 0, 34- 5 , ( ) C = − 34,0 3 , √-- |BC | = 34-34 15

Wersja PDF