Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8514725

Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB , BC i CA w punktach – odpowiednio – P = (0,10 ) , Q = (8,6) i R = (9,13) . Oblicz współrzędne wierzchołków A , B i C tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Spróbujemy na początek wyznaczyć środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Punkt S leży na prostej y = 10 , więc ma współrzędne postaci S = (x,10) . Ponadto

PS2 = QS 2 2 2 2 2 x = (x − 8) + (1 0− 6 ) = x − 16x + 64 + 16 16x = 8 0 ⇒ x = 5.

Zatem S = (5 ,10) . Napiszemy teraz równania stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt ABC przechodzących przez punkty Q i R . Są to proste prostopadłe do promieni SQ i SR . Wyznaczamy najpierw współczynnik kierunkowy prostej SQ – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S i Q .

{ 10 = 5a + b 6 = 8a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

− 4 = 3a ⇒ a = − 4. 3

W takim razie prosta CB ma równanie postaci  3 y = 4x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu Q .

6 = 6+ b ⇒ b = 0.

W takim razie prosta CB ma równanie  3 y = 4x i B = (0,0) .

Korzystamy teraz z informacji o tym, że trójkąt ABC jest prostokątny – to oznacza, że prosta CA jest prostopadła do CB , czyli równoległa do SQ . Ma więc równanie postaci y = − 4x + b 3 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu R .

13 = − 12 + b ⇒ b = 25.

To oznacza, że prosta CA ma równanie y = − 4x + 25 3 i A = (0,25) .

Pozostało jeszcze wyznaczyć współrzędne punktu C .

{ 3 y = 4x y = − 43x + 25

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 3- 4- 25- 04 x+ 3x − 25 = 12 x− 25 25 ---x = 25 ⇒ x = 12 12

Stąd  3 y = 4 x = 9 i C = (12,9) .  
Odpowiedź: A = (0,25 ) , B = (0,0) , C = (12,9)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!