Zadanie nr 8514725

Wierzchołki i trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków , i w punktach – odpowiednio – P = (0,10 ) , Q = (8,6) i R = (9,13) . Oblicz współrzędne wierzchołków , i tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Spróbujemy na początek wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Punkt leży na prostej y = 10 , więc ma współrzędne postaci S = (x,10) . Ponadto

PS2 = QS 2 2 2 2 2 x = (x − 8) + (1 0− 6 ) = x − 16x + 64 + 16 16x = 8 0 ⇒ x = 5.

Zatem S = (5 ,10) . Napiszemy teraz równania stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt ABC przechodzących przez punkty i . Są to proste prostopadłe do promieni i . Wyznaczamy najpierw współczynnik kierunkowy prostej – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 10 = 5a + b 6 = 8a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

− 4 = 3a ⇒ a = − 4. 3

W takim razie prosta ma równanie postaci 3 y = 4x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

6 = 6+ b ⇒ b = 0.

W takim razie prosta ma równanie 3 y = 4x i B = (0,0) .

Korzystamy teraz z informacji o tym, że trójkąt ABC jest prostokątny – to oznacza, że prosta jest prostopadła do , czyli równoległa do . Ma więc równanie postaci y = − 4x + b 3 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .