Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8726572

W trójkącie prostokątnym ABC , gdzie  ∘ |∡ACB | = 90 , wierzchołek B ma współrzędne (6,0) . Prosta k : 1 1x+ 2y − 6 = 0 , zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C , przecina bok AB trójkąta w punkcie  ( 1) S = 1,− 22 . Wyznacz współrzędne punktów A i C .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Ponieważ znamy współrzędne punktu B i środka S odcinka AB , możemy łatwo wyliczyć współrzędne punktu A = (x ,y ) .

( ) ( ) 1,− 5- = S = A-+--B-= x+--6, y-+-0 2 2 2 2 { 2 = x + 6 ⇒ x = − 4 − 5 = y

Zatem A = (− 4,− 5) i pozostało wyznaczyć współrzędne punktu C .

Sposób I

Ponieważ punkt C ma leżeć na prostej k jest on postaci  ( 11 ) C = (x ,y) = x ,3− 2-x . Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy zatem

 2 2 2 AC + BC (= AB ) ( ) 2 11 2 2 11 2 2 2 (x + 4) + 3− ---x+ 5 + (x − 6) + 3− ---x− 0 = (6+ 4) + (0 + 5) ( 2 ) (2 ) 2 11 2 2 11 2 x + 8x + 16 + 8− ---x + x − 12x + 36+ 3 − --x = 12 5 2 2 2x2 − 4x − 73 + 64 − 88x + 121-x2 + 9− 33x + 121-x2 = 0 4 4 125 2 2 ----x − 125x = 0 / ⋅---- 22 12 5 x − 2x = 0 x(x − 2) = 0 .

Zatem x = 0 lub x = 2 . Wtedy odpowiednio y = 3 lub y = − 8 .

Sposób II

Ponieważ punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC (zawsze środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej), więc wystarczy znaleźć punkty danej prostej k i okręgu o środku w punkcie S i promieniu SB , gdzie

 ( 5 ) 2 25 125 SB 2 = (6− 1)2 + 0 − -- = 25+ ---= ----. 2 4 4

Podstawiamy więc do równania okręgu

 ( ) 2 (x − 1)2 + y+ 5- = 12-5 2 4

wyliczony z równania prostej y = 3− 121x .

 ( )2 2 1-1 5- 125- (x− 1) + 3 − 2 x + 2 = 4 ( ) 2 2 1-1 11- 125- (x− 1) + 2 − 2 x = 4 (x− 1)2 + 121(x − 1 )2 = 125- ( 4 ) 4 2 121- 125- (x− 1) 1+ 4 = 4 (x− 1)2 ⋅ 125-= 125- 4 4 (x− 1)2 = 1 x− 1 = 1 ∨ x − 1 = − 1 x = 2 ∨ x = 0.

Jak poprzednio, otrzymujemy stąd C = (2,− 8) lub C = (0,3) .  
Odpowiedź: A = (− 4,− 5) , C = (0,3) lub C = (2,− 8)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!