Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8877459

Wyznacz równanie symetralnej przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o wierzchołkach A = (10,− 2), B = (9,4), C = (− 3 ,2 ) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Z rysunku powinno być widać, że przeciwprostokątną jest AC , ale dla pewności sprawdźmy to.

 ∘ -------------------- √ ------- √ --- AB = (9 − 10)2 + (4+ 2)2 = 1 + 36 = 37 ∘ --------------------- 2 2 √ -------- √ ---- BC = ∘ (−-3−--9)-+-(2-−-4)--= 144 + 4 = 14 8 2 2 √ --------- √ ---- AC = (− 3 − 10) + (2+ 2) = 169 + 16 = 185.

Zatem rzeczywiście AB 2 + BC 2 = AC 2 , czyli przeciwprostokątną jest AC . Obliczmy jeszcze współrzędne środka S odcinka AC .

 ( ) ( ) A-+-C-- 10-−-3- −-2+--2 7- S = 2 = 2 , 2 = 2,0 .

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku AC . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.

Sposób I

Szukana symetralna to zbiór punktów (x,y) , które są równo odległe od punktów A i C (symetralna odcinka AC ). Daje to nam równość

∘ --------------------- ∘ ------------------- 2 (x− 10)2 + (y+ 2)2 = (x + 3)2 + (y − 2)2 /() 2 2 2 2 x − 20x + 100 + y + 4y + 4 = x + 6x + 9 + y − 4y + 4 − 26x + 8y + 91 = 0 / : 8 y = 13x − 91. 4 8

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie symetralnej boku AC jako prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez S . Najpierw szukamy równania prostej AC . Szukamy równania w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ − 2 = 10a + b 2 = − 3a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b ) i mamy

 4 − 4 = 13a ⇒ a = − --. 13

Współczynnika b nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny. Symetralna AC jest prostopadła do AC , więc ma równanie postaci  13 y = 4-x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S .

 13 7 91 0 = ---⋅--+ b ⇒ b = − --. 4 2 8

Szukana symetralna ma więc równanie  13- 91 y = 4 x− 8 .

Sposób III

Szukana prosta jest prostopadła do AC i przechodzi przez S . W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy  → →v = AC = [− 13,4] i P = S , co daje równanie

 ( ) 7- − 13 x− 2 + 4y = 0 / : 4 − 13-x + 91-+ y = 0 ⇒ y = 13x − 91. 4 8 4 8

 
Odpowiedź: y = 143x− 981

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!