Zadanie nr 8877459
Wyznacz równanie symetralnej przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o wierzchołkach .
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Z rysunku powinno być widać, że przeciwprostokątną jest , ale dla pewności sprawdźmy to.

Zatem rzeczywiście , czyli przeciwprostokątną jest
. Obliczmy jeszcze współrzędne środka
odcinka
.

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.
Sposób I
Szukana symetralna to zbiór punktów , które są równo odległe od punktów
i
(symetralna odcinka
). Daje to nam równość

Sposób II
Tym razem napiszemy równanie symetralnej boku jako prostej prostopadłej do
i przechodzącej przez
. Najpierw szukamy równania prostej
. Szukamy równania w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

Współczynnika nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny. Symetralna
jest prostopadła do
, więc ma równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.

Szukana symetralna ma więc równanie .
Sposób III
Szukana prosta jest prostopadła do i przechodzi przez
. W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora
i przechodzącej przez punkt

W naszej sytuacji mamy i
, co daje równanie

Odpowiedź: