Zadanie nr 8877459

Wyznacz równanie symetralnej przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o wierzchołkach A = (10,− 2), B = (9,4), C = (− 3 ,2 ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Z rysunku powinno być widać, że przeciwprostokątną jest , ale dla pewności sprawdźmy to.

∘ -------------------- √ ------- √ --- AB = (9 − 10)2 + (4+ 2)2 = 1 + 36 = 37 ∘ --------------------- 2 2 √ -------- √ ---- BC = ∘ (−-3−--9)-+-(2-−-4)--= 144 + 4 = 14 8 2 2 √ --------- √ ---- AC = (− 3 − 10) + (2+ 2) = 169 + 16 = 185.

Zatem rzeczywiście AB 2 + BC 2 = AC 2 , czyli przeciwprostokątną jest . Obliczmy jeszcze współrzędne środka odcinka .

( ) ( ) A-+-C-- 10-−-3- −-2+--2 7- S = 2 = 2 , 2 = 2,0 .

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.

Sposób I

Szukana symetralna to zbiór punktów (x,y) , które są równo odległe od punktów i (symetralna odcinka ). Daje to nam równość

∘ --------------------- ∘ ------------------- 2 (x− 10)2 + (y+ 2)2 = (x + 3)2 + (y − 2)2 /() 2 2 2 2 x − 20x + 100 + y + 4y + 4 = x + 6x + 9 + y − 4y + 4 − 26x + 8y + 91 = 0 / : 8 y = 13x − 91. 4 8

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie symetralnej boku jako prostej prostopadłej do i przechodzącej przez . Najpierw szukamy równania prostej . Szukamy równania w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 2 = 10a + b 2 = − 3a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

4 − 4 = 13a ⇒ a = − --. 13

Współczynnika nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny. Symetralna jest prostopadła do , więc ma równanie postaci 13 y = 4-x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

13 7 91 0 = ---⋅--+ b ⇒ b = − --. 4 2 8

Szukana symetralna ma więc równanie 13- 91 y = 4 x− 8 .

Sposób III

Szukana prosta jest prostopadła do i przechodzi przez . W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)