Zadanie nr 9615314
Punkty i
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego
o przeciwprostokątnej
. Wierzchołek
leży na prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne punktu
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty .
Sposób I
Skoro trójkąt ma być prostokątny, to punkt
musi leżeć na okręgu o średnicy
. Nie jest trudno napisać równanie tego okręgu. Jego środek to środek odcinka
, czyli

a promień jest równy

Zatem okrąg o średnicy ma równanie

Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą – podstawiamy
w powyższym równaniu.

Zatem lub
.
Sposób II
Szukamy takiego punktu (bo ma leżeć na prostej
), aby trójkąt
był prostokątny. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa.

Dalej liczmy jak w I sposobie.
Sposób III
Szukamy takiego punktu , aby odcinki
i
były prostopadłe. Łatwo zapisać ten warunek używając iloczynu skalarnego.
![−→ −→ AC ∘ BC = 0 [x − 2,x]∘ [x − 12,x] = 0 2 (x − 2)(x − 12 )+ x = 0 x2 − 14x + 2 4+ x2 = 0 / : 2 x2 − 7x + 12 = 0.](https://img.zadania.info/zad/9615314/HzadR22x.gif)
Dalej liczmy jak w I sposobie.
Odpowiedź: lub