/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 9836372

Wykaż, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (5 ;−4 ) , B = (3;2) , C = (2;− 5) jest prostokątny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy podane punkty, to jest jasne, że kąt prosty powinien być przy wierzchołku A .

PIC

Sposób I

Aby sprawdzić czy tak jest w istocie, musimy sprawdzić czy → → AC ∘AB = 0 . Liczymy

→ → AC ∘AB = [−3 ,−1 ]∘[− 2,6] = 6 − 6 = 0 .

A więc istotnie trójkąt ABC jest prostokątny.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z iloczynu skalarnego, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AB = (3 − 5) + (2 + 4) = 4 + 36 = 40 AC 2 = (2− 5 )2 + (− 5 + 4)2 = 9 + 1 = 10 2 2 2 2 2 BC = (2 − 3) + (− 5− 2) = 1 + 49 = 5 0 = AB + AC .

Zatem istotnie ∡A = 90∘ .

Wersja PDF