Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9837304

Punkt A = (23,22) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego o polu 7030 . Prosta AC zawiera przeciwprostokątną tego trójkąta, a prosta zwierająca przyprostokątną AB ma równanie 3y − 4x + 26 = 0 . Środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC ma współrzędne S = (−2 ,−3 ) . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Zauważmy na początek, że łatwo jest obliczyć promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC – jest to po prostu odległość punktu S od prostej AB .

 |3⋅-(−3-)−-4-⋅(−-2)-+-26| |−-9-+-8-+-26|- r = √ -2----2 = 5 = 5 . 3 + 4

Spróbujemy teraz napisać równanie prostej BC . Jest ona prostopadła do prostej  4 26 AB : y = 3 x− 3 , więc ma równanie postaci  3 y = − 4x + b oraz jej odległość od S też musi być równa r = 5 . Aby sprawdzić kiedy tak będzie, zapiszmy jej równanie w postaci ogólnej: 4y + 3x − 4b = 0 i ponownie korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

 |4⋅-(−3-)+-3-⋅(−-2)-−-4b| |−-18-−-4b|- 5 = √ -2----2 = 5 4 + 3 |− 18 − 4b| = 25 − 1 8− 4b = 25 lub 18 + 4b = 25 4b = − 43 lub 4b = 7 43 7 b = − --- lub b = -. 4 4

Zauważmy teraz, że w przypadku b = 7 4 prosta BC miałaby równanie  3 7 y = − 4x + 4 i wtedy punkty A i S leżałyby po różnych stronach tej prostej. Dokładniej,

 3 7 − --⋅23+ --< 22 4 4 − 3-⋅(− 2)+ 7-= 13-> − 3, 4 4 4

czyli punkt A leżałby powyżej, a punkt S poniżej prostej BC , a to jest niemożliwe. Zatem b = − 443 i prosta BC ma równanie y = − 34x − 434 . Szukamy teraz punktu wspólnego B tej prostej i danej prostej AB .

{ y = 4x− 26 33 3 43 y = − 4 x− 4

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 4x + 3-x− 26-+ 43- / ⋅1 2 3 4 3 4 0 = 16x + 9x − 104 + 12 9 25x = − 25 ⇐ ⇒ x = − 1.

Stąd  4 26 y = 3 x− 3-= − 10 i B = (− 1,− 10) .

W tym momencie musimy wykorzystać podaną informację o polu trójkąta ABC

 ∘ ----------------------- 700- 1- 1- 2 2 3 = 2BA ⋅BC = 2 (23 + 1 ) + (22 + 10 ) ⋅BC = 2 0⋅BC 700 1 3 5 BC = ----⋅ ---= ---. 3 20 3

Pozostało teraz wyznaczyć taki punkt  ( 3 43-) C = x,− 4x − 4 na prostej BC , dla którego BC = 35 3 .

 ( ) ( ) 12 25 2 2 3 43 2 2 3 3 2 ----- = BC = (x + 1) + − --x− ---+ 10 = (x + 1 ) + − --x− -- 9 4 4 4 4 12-25 2 -9- 2 2-5 2 9 = (x + 1) + 1 6(x + 1) = 1 6 ⋅ (x+ 1) 1225 16 49 ⋅16 (x + 1)2 = -----⋅---= ------- 9 25 9 x + 1 = 28- lub x + 1 = − 28- 3 3 25- 31- x = 3 lub x = − 3 .

Mamy wtedy  3 43 y = − 4 x− 4 = − 17 lub y = − 3 odpowiednio. Aby ustalić, który z tych punktów jest szukanym punktem C , sprawdzamy, który z nich leży powyżej prostej AB (bo S leży powyżej tej prostej).

4-⋅ 25-− 26-> − 17 3 3 3 4 ( 31 ) 2 6 --⋅ − --- − --- < − 3. 3 3 3

W takim razie  ( 31 ) C = − 3 ,− 3 .  
Odpowiedź: B = (− 1,− 10) ,  ( ) 31- C = − 3 ,− 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!