Zadanie nr 6241130

Oblicz miarę kąta ostrego, którego ramiona są zawarte w prostych o równaniach √ - y = --3x 3 i y = −x .

Rozwiązanie

Szkicujemy podane proste w układzie współrzędnych.

Sposób I

Prosta y = −x tworzy z dodatnią półosią układu współrzędnych kąt, którego tangens jest równy − 1 (współczynnik kierunkowy tej prostej), czyli ∘ 13 5 . Podobnie, prosta √ - --3 y = 3 x tworzy z dodatnią półosią układu współrzędnych kąt, którego tangens jest równy √ - -33 (współczynnik kierunkowy tej prostej), czyli 30∘ . To oznacza, że proste przecinają się pod kątem

∘ ∘ ∘ 135 − 30 = 10 5 .

To jest jednak kąt rozwarty, kąt ostry utworzony przez proste, to

∘ ∘ ∘ 180 − 105 = 7 5 .

Sposób II

Tak jak poprzednio stwierdzamy, że prosta √ - y = --3x 3 tworzy z dodatnią półosią kąt ∘ 30 . Prosta y = −x jest dwusieczną kąta utworzonego przez osie układu, więc tworzy kąt ostry z osiami równy ∘ 45 . To oznacza (patrzymy na prawy rysunek), że kąt ostry między danymi prostymi jest równy