Zadanie nr 1478761
W okrąg o równaniu wpisano trójkąt równoboczny
w którym
. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
Rozwiązanie
Przekształćmy najpierw podane równanie okręgu.

Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.
Sposób I
Jeżeli przez oznaczymy długość boku szukanego trójkąta równobocznego, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie to
wysokości, czyli

Mamy zatem

Szukamy zatem punktów , które leżą na danym okręgu i których odległość od
wynosi
. Mamy więc układ równań

Odejmując te równania stronami mamy

Podstawimy teraz wyliczoną wartość do równania okręgu

Liczymy dalej ,

Wtedy

Sposób II
Tym razem rozpoczynamy od uproszczenia opisanej sytuacji – przesuwamy interesujące nas figury o wektor tak, aby dany okrąg miał środek w punkcie
. Po tym przesunięciu punkt
przejdzie w
. Wszystkie punkty otrzymanego okręgu mają współrzędne postaci
. Rozpocznijmy od obliczenia funkcji trygonometrycznych kąt
, dla którego otrzymujemy punkt
.

Współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta równobocznego otrzymamy obracając punkt
o
i o
. Zanim obliczymy współrzędne tych punktów zauważmy, że

Mamy zatem

Analogicznie obliczamy współrzędne punktu .

Współrzędne punktów i
otrzymujemy przesuwając punkty
i
o wektor
. Mamy zatem

Odpowiedź: ,