Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1478761

W okrąg o równaniu  2 2 x + y − 12x − 8y + 32 = 0 wpisano trójkąt równoboczny ABC w którym A = (2;6 ) . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw podane równanie okręgu.

 2 2 x + y − 12x − 8y + 32 = 0 (x2 − 12x + 36) + (y2 − 8y + 16 ) = 20 2 2 √ --2 (x − 6) + (y− 4) = (2 5) .

Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.


PIC


Sposób I

Jeżeli przez a oznaczymy długość boku szukanego trójkąta równobocznego, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie to 23 wysokości, czyli

 √ -- √ -- 2- a--3- a--3- 3 ⋅ 2 = 3 .

Mamy zatem

 √ -- √ -- a--3- √ -- 6--5- √ --- 3 = 2 5 ⇒ a = √ -- = 2 1 5. 3

Szukamy zatem punktów (x ,y) , które leżą na danym okręgu i których odległość od A wynosi  √ --- 2 15 . Mamy więc układ równań

{ 2 2 √ --2 (x − 6) + (y− 4) = (2√ 5)- = 2 0 (x − 2)2 + (y− 6)2 = (2 15)2 = 60 { x2 + y2 − 12x − 8y + 32 = 0 2 2 x + y − 4x − 12y − 20 = 0

Odejmując te równania stronami mamy

 − 8x + 4y + 52 = 0 − 2x + y + 13 = 0 y = 2x − 13.

Podstawimy teraz wyliczoną wartość y do równania okręgu

 2 2 x + y − 12x − 8y+ 32 = 0 x 2 + (2x − 13)2 − 12x − 8(2x − 13 )+ 32 = 0 x 2 + 4x 2 − 52x+ 169 − 12x − 1 6x+ 104 + 32 = 0 2 5x − 8 0x+ 305 = 0 x 2 − 16x + 61 = 0.

Liczymy dalej Δ = 2 56− 244 = 12 ,

 √ -- x = 8 − 3 1 √ -- x2 = 8 + 3

Wtedy

 √ -- y1 = 3 − 2 3 √ -- y2 = 3 + 2 3

Sposób II

Tym razem rozpoczynamy od uproszczenia opisanej sytuacji – przesuwamy interesujące nas figury o wektor [− 6,− 4] tak, aby dany okrąg miał środek w punkcie (0,0) . Po tym przesunięciu punkt A przejdzie w  ′ A = (2− 6,6− 4) = (− 4,2) . Wszystkie punkty otrzymanego okręgu mają współrzędne postaci  √ -- 2 5(cos α,sin α) . Rozpocznijmy od obliczenia funkcji trygonometrycznych kąt α , dla którego otrzymujemy punkt A ′ .

 { √ -- co sα = −√4- (− 4,2) = A′ = 2 5 (cosα,sin α) ⇒ 225 sin α = 2√-5

Współrzędne pozostałych wierzchołków B ′,C′ trójkąta równobocznego otrzymamy obracając punkt  ′ A o  ∘ − 120 i o  ∘ 1 20 . Zanim obliczymy współrzędne tych punktów zauważmy, że

 1 cos 120∘ = cos(1 80∘ − 60∘) = − co s60∘ = − -- √ -- 2 ∘ ∘ ∘ ∘ --3- sin 120 = sin(180 − 6 0 ) = sin 60 = 2 .

Mamy zatem

 ′ √ -- ∘ ∘ B = 2√ 5(cos(α − 120 ),sin (α− 120 )) = = 2 5(co sα cos120 ∘ + sin αsin 120∘,sin αcos 120∘ − sin1 20∘cos α) = ( √ -- √ --) √ -- --4-- 1- --2-- --3- --2-- 1- -4--- --3- = 2 5 √ -⋅ 2 + √ --⋅ 2 ,− √ --⋅2 + √ --⋅ 2 = √2-- 5 √2--5 2 5 2 5 = (2+ 3,− 1+ 2 3).

Analogicznie obliczamy współrzędne punktu C ′ .

 ′ √ -- ∘ ∘ C = 2 5(cos(α + 12 0 ),sin (α+ 120 )) = √ -- ∘ ∘ ∘ ∘ = 2 5((co sα cos12 0 − sin√αsin 120 ,sin αcos 120√ +-s)in1 20 co sα) = √ -- 4 1 2 3 2 1 4 3 = 2 5 --√--⋅ --− -√---⋅ ---,− -√---⋅ -− -√---⋅---- = 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 √ -- √ -- = (2− 3,− 1− 2 3).

Współrzędne punktów B i C otrzymujemy przesuwając punkty B′ i C′ o wektor [6,4] . Mamy zatem

 √ -- √ -- √ -- √ -- B = (2 + 3,− 1 + 2 3) + (6,4) = (8+ 3,3+ 2 3) √ -- √ -- √ -- √ -- C = (2 − 3,− 1 − 2 3) + (6,4) = (8− 3,3− 2 3).

 
Odpowiedź:  -- -- (8 − √ 3,3 − 2√ 3) , -- -- (8 + √ 3,3 + 2√ 3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!