Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3150459

W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg o środku w punkcie S = (3,− 1) . Wiedząc, że wierzchołek C ma współrzędne (1,− 3) wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle w geometrii najważniejszy jest rysunek.


PIC


Sposób I

Jak już mamy rysunek, należy się zastanowić jak z podanych danych odtworzyć trójkąt? No dobrze, a co dokładnie mamy dane? Mając punkty C i S możemy wyliczyć równanie prostej CS . Jak to mamy, to możemy wyliczyć spodek wysykości D opuszczonej z wierzchołka C (bo wiemy, że leży na prostej CS i jest w odległości 1 2CS od S ). Potem będziemy mogli wyliczyć równanie prostej AB (bo jest prostopadła do CS i przechodzi przez D . No i wtedy będzie już łatwo, bo szukane punkty leżą na okręgu o środku S i promieniu CS (opisanym na trójkącie ABC ).

Ok, mamy plan działania, to do dzieła. Najpierw równanie prostej CS :

(y + 3)(3 − 1) − (− 1 + 3)(x − 1) = 0 2(y + 3 )− 2(x − 1 ) = 0 2y − 2x + 8 = 0 y − x + 4 = 0.

Szkuamy teraz na tej prostej punktu D = (x,y) w odległości

1- 1-∘ -2----2 √ -- 2 ⋅CS = 2 2 + 2 = 2

od punktu S . Mamy zatem układ równań

{ y = x− 4 2 2 { (x − 3) + (y + 1) = 2 y = x− 4 2 2 (x − 3) + (x − 4 + 1) = 2 { y = x− 4 2(x − 3 )2 = 2.

Stąd łatwo wynika, że x = 2 lub x = 4 . Pierwszy pierwiastek odrzucamy, bo D ma być na prawo od S . Mamy zatem D = (4,0) (punkt ten mogliśmy wyliczyć trochę prościej, używając równości wektorów → → CS = 2SD – szczegóły zostawiamy jako ćwiczenie).

Równanie prostej AB jest postaci y = −x + b (bo jest ona prostopadła do CS ). Zawiera ona również punkt D – stąd wyliczymy b :

0 = − 4 + b ⇒ b = 4

Pozostało teraz znaleźć punkty wspólne prostej AB i okręgu: (x − 3)2 + (y + 1)2 = 8 .

{ y = −x + 4 2 2 { (x − 3) + (y + 1) = 8 y = −x + 4 (x − 3)2 + (−x + 5)2 = 8

Prowadzi to do równania

x2 − 6x + 9 + x2 − 10x + 2 5 = 8 2 2x − 16x + 2 6 = 0 x2 − 8x + 13 = 0.

Dalej mamy Δ = 6 4− 5 2 = 12 , czyli

 8 − 2√ 3- √ -- x 1 = ---------= 4− 3 2√ -- 8-+-2--3- √ -- x 2 = 2 = 4+ 3.

To daje

 √ -- y 1 = 3 √ -- y 2 = − 3.

Sposób II

Mając dane współrzędne punktów C i S możemy łatwo wyliczyć długość boku trójkąta, bo odcinek CS stanowi 23 jego wysokości.

 ∘ --------------------- √ ------ √ -- CS = (3− 1)2 + (− 1 + 3)2 = 4+ 4 = 2 2. √ -- √ -- 2-⋅ a--3-= 2h = CS = 2 2 3 2 3 -3-- √ -- √ -- a = √ --⋅2 2 = 2 6 . 3

Teraz łatwo napisać dwa równania, które muszą spełniać punkty A i B – każdy z nich musi znajdować się w odległości CS od punktu S i odległości a od punktu C . Otrzymujemy zatem układ równań.

{ (x − 3 )2 + (y + 1)2 = 8 (x − 1 )2 + (y + 3)2 = 24 { x 2 − 6x + 9+ y2 + 2y+ 1 = 8 2 2 x − 2x + 1+ y + 6y+ 9 = 24 { 2 2 x − 6x + y + 2y = − 2 x 2 − 2x + y2 + 6y = 14

Odejmijmy teraz od drugiego równania pierwsze.

4x + 4y = 16 / : 4 y = 4 − x .

Podstawiamy teraz to wyrażenie do pierwszego równania układu.

 2 2 x − 6x + (4− x) + 8− 2x = − 2 x2 − 8x + 10 + 16 − 8x + x 2 = 0 2 2x − 16x + 26 = 0 / : 2 x2 − 8x + 13 = 0 Δ = 6 4− 52 = 12 8 − 2√ 3- √ -- 8+ 2√ 3- √ -- x = ---------= 4 − 3 ∨ x = ---------= 4+ 3. 2 2

Mamy wtedy odpowiednio  √ -- y = 4 − x = 3 i  √ -- y = 4 − x = − 3 .  
Odpowiedź:  √ --√ -- (4 − 3, 3) oraz  √ -- √ -- (4 + 3,− 3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!