Zadanie nr 3663878
Dane są punkty i .
- Znajdź takie punkty i aby trójkąty i były równoboczne.
- Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb .
- Oblicz pole figury, którą otrzymamy po usunięciu z rombu wnętrza wpisanego w niego koła.
Rozwiązanie
Możemy na początku naszkicować sobie opisaną sytuację.
- Szukane punkty i możemy wyznaczyć na różne sposoby, my zrobimy to szukając punktów wspólnych okręgów o środkach w i i promieniu .
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy
Tę wartość podstawiamy do pierwszego równania.
Daje to nam punkty i .
Odpowiedź: i - Środkiem szukanego okręgu jest środek odcinka , czyli punkt . Promień tego okręgu możemy łatwo wyliczyć ze wzoru na pole rombu opisanego na okręgu , gdzie jest połową obwodu (robimy to w ten sposób, bo pole rombu i tak będzie nam potrzebne w następnym podpunkcie).
Wcześniej już policzyliśmy, że zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy
Wyliczamy teraz promień okręgu wpisanego
Zatem interesujący nas okrąg ma równanie
Odpowiedź: - Wiemy już, że pole rombu jest równe . Pole okręgu wpisanego jest równe
Zatem interesujące nas pole jest równe
Odpowiedź: