Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4145319

Dany jest trójkąt równoboczny ABC , w którym  ( 5) A = − 1, 2 . Bok BC tego trójkąta jest zwarty w prostej o równaniu y = 12x − 3 . Oblicz współrzędne środka odcinka BC oraz oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Jeżeli S jest środkiem odcinka BC , to prosta AS jest jego wysokością. Jest więc prostopadła do prostej BC i ma równanie postaci

y = − 2x + b.

Współczynnik b wyznaczamy podstawiając w tym równaniu współrzędne punktu A .

5 5 1 2-= − 2⋅ (−1 )+ b ⇒ b = 2-− 2 = 2.

Prosta AS ma więc równanie y = − 2x + 1 2 i możemy wyznaczyć jej punkt wspólny S z prostą BC .

{ y = 1x − 3 2 y = − 2x+ 12

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 1- 1- 5- 7- 7- 0 = 2x + 2x − 3 − 2 ⇐ ⇒ 2 x = 2 ⇐ ⇒ x = 5.

Stąd

 1 7 23 y = --x− 3 = ---− 3 = − --- 2 10 10

i  (7 23) S = 5,− 10 . To pozwala nam obliczyć długość wysokości trójkąta ABC .

 ∘ (------)----(----------)--- ∘ (----)----(------)-- 7 2 23 5 2 12 2 24 2 AS = -+ 1 + − ---− -- = --- + − --- = ∘ --5-------- ∘ 10-- 2 √ -- 5 5 144 576 720 12 5 = ----+ ----= ----= ------. 2 5 25 25 5

To pozwala obliczyć długość a boku trójkąta.

 √ -- √ -- a--3-= 12--5- / ⋅√2-- 2 5 3 √ -- √ --- a = 24√--5-= 24--15-. 5 3 15

Pole trójkąta ABC jest więc równe

 √ -- √ -- √ -- √ -- a2 3 51756⋅ 3 144 3 48 3 PABC = --4---= ---4----= --15--- = ---5--.

 
Odpowiedź:  (7 23) S = 5,− 10 ,  √- 48-3- PABC = 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!