Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5936453

Punkt  √ -- E = (0,2 3) jest środkiem boku AB trójkąta równobocznego ABC , prosta AC ma równanie  √ -- y = 3x , a początek układu współrzędnych pokrywa się wierzchołkiem C tego trójkąta. Napisz równania wysokości trójkąta ABC przechodzących przez wierzchołki A i B .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Prosta CE pokrywa się z osią Oy (bo pierwsze współrzędne punktów E i C są równe 0) i jest wysokością trójkąta ABC , więc jest prostopadła do boku AB tego trójkąta. W takim razie prosta AB musi być poziomą prostą  √ -- y = 2 3 . Obliczamy teraz współrzędne punktu A – jest to punkt wspólny prostych AB i AC .

{ √ -- y = 2√ -3 y = 3x.

Mamy stąd x = 2 i  √ -- A = (2,2 3) . Wysokość CE jest osią symetrii trójkąta, więc  √ -- B = (− 2,2 3) . Środki F i G boków CB i CA mają współrzędne

 -- F = C-+-B- = B- = (− 1,√ 3) 2 2 C + A A √ -- G = -------= --= (1, 3). 2 2

Piszemy teraz równanie wysokości AF . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i F .

{ √ -- 2√ -3 = 2a+ b 3 = −a + b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b ) i mamy

 -- √ -- √ 3 = 3a ⇒ a = --3. 3

Stąd  √ -- √- b = a + 3 = 433- i wysokość AF ma równanie  √ - √ - y = -33x + 4-33 . Analogicznie wyznaczamy równanie prostej BG . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów B i G .

{ √ -- 2 3 = −2a + b √ -- 3 = a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 √ -- √ -- --3- 3 = − 3a ⇒ a = − 3 .

Stąd  √ -- √- b = 3 − a = 4-3- 3 i wysokość AF ma równanie  √ - √ - y = − --3x + 4--3 3 3 .  
Odpowiedź:  √3- 4√-3- y = 3 x + 3 i  √-3 4√-3 y = − 3 x + 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!