Zadanie nr 5936453

Punkt √ -- E = (0,2 3) jest środkiem boku trójkąta równobocznego ABC , prosta ma równanie √ -- y = 3x , a początek układu współrzędnych pokrywa się wierzchołkiem tego trójkąta. Napisz równania wysokości trójkąta ABC przechodzących przez wierzchołki i .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Prosta pokrywa się z osią (bo pierwsze współrzędne punktów i są równe 0) i jest wysokością trójkąta ABC , więc jest prostopadła do boku tego trójkąta. W takim razie prosta musi być poziomą prostą √ -- y = 2 3 . Obliczamy teraz współrzędne punktu – jest to punkt wspólny prostych i .

{ √ -- y = 2√ -3 y = 3x.

Mamy stąd x = 2 i √ -- A = (2,2 3) . Wysokość jest osią symetrii trójkąta, więc √ -- B = (− 2,2 3) . Środki i boków i mają współrzędne

-- F = C-+-B- = B- = (− 1,√ 3) 2 2 C + A A √ -- G = -------= --= (1, 3). 2 2

Piszemy teraz równanie wysokości . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ √ -- 2√ -3 = 2a+ b 3 = −a + b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

-- √ -- √ 3 = 3a ⇒ a = --3. 3

Stąd √ -- √- b = a + 3 = 433- i wysokość ma równanie √ - √ - y = -33x + 4-33 . Analogicznie wyznaczamy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .