W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 1502808

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Czworokąt

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 1502808

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość $a$ , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Druga część zadania jest bardzo łatwa. Szukany odcinek $EF$ jest równoległy do podstaw (tw. Talesa) i składa się z dwóch części: odcinka $ES = a$ oraz $SF$ , który jest równy połowie $C′B$ (np. z podobieństwa trójkątów $CSF$ i $′ CC B$ lub z twierdzenia Talesa), czyli też $a$ . Zatem

EF = 2a.

Jeżeli ktoś lubi różne wzorki, to w dowolnym trapezie o podstawach $a$ i $b$ odcinek łączący środki ramion ma długość $a+b-- 2$ . Oczywiście zgadza się to z naszymi wyliczeniami.

Aby obliczyć pole trapezu, musimy wyznaczyć jego wysokość $h$ . Na mocy twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta $CC ′B$ mamy

(CC ′)2 + C′B 2 = CB 2 2 2 2 h + (2a) = CB .

Ponadto, musimy w końcu wykorzystać fakt, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem