/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 1591084

W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC jest prostopadła do ramienia. Kąt ostry trapezu ma miarę 60∘ . Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej AC wynosi √ -- 16 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Patrzymy na trójkąty prostokątne ABC i AF C .

√ -- √ -- AC-- = sin 60∘ = --3- ⇒ a = AB = 16√-3-= 32 AB 2 -3- 2 -CF- ∘ 1- 1- √ -- √ -- AC = sin 30 = 2 ⇒ h = CF = 2 ⋅16 3 = 8 3 √ -- √ -- √ -- -AF- = co s30∘ = --3- ⇒ AF = --3-⋅16 3 = 24. AC 2 2

Zauważmy jeszcze, że EF = DC = b i a−b-- AE = F B = 2 . Stąd

a− b a+ b 32 + b 24 = AF = b+ ------= -----= ------- / ⋅2 2 2 2 48 = 32 + b ⇒ b = 16.

Pozostało obliczyć pole trapezu.

-- -- -- P = a-+-b-⋅h = 32+--16-⋅8√ 3 = 24 ⋅8√ 3 = 192√ 3. 2 2

 
Odpowiedź: √ -- 192 3

Wersja PDF