Zadanie nr 3005315

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.

Trapez wpisany w okrąg musi być równoramienny, oznaczmy długość jego ramienia przez . Mamy zatem

2a-+-2R-+--2x-= 3- 2a+ 2R 2 --x--- 1- a + R = 2 1 x = -(a+ R). 2

Napiszmy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AOD .

2 2 2 DO = AO + AD − 2AO ⋅ AD cos∡A 2 2 1- 2 R = R + 4(a + R ) − R(a + R )cos ∡A 1 R(a + R )cos ∡A = -(a + R )2 4 cos ∡A = a--+ 1. 4R 4

Aby wyliczyć iloraz aR- , napiszmy twierdzenie Pitagorasa w trójkątach AED i EOD .

AD 2 = AE 2 + ED 2 = AE 2 + DO 2 − EO 2 1 -(a + R )2 = (R − a)2 + R2 − a2 4 a2 + 2aR + R 2 = 8R2 − 8aR 2 2 2 a + 10aR − 7R = 0 / : R (-a) 2 a- R + 1 0⋅ R − 7 = 0 2 t + 10t − 7 = 0,

gdzie a t = R- . Dalej, Δ = 10 0+ 2 8 = 64 ⋅2 , Dodatni pierwiastek to √ -- t = − 5 + 4 2 . Stąd

cos ∡A = a--+ 1-= −-5-+ √ 2-+ 1-= √ 2-− 1. 4R 4 4 4

Sposób II

Podobnie jak poprzednio zauważamy, że x = 12(a + R ) .

Zauważmy jeszcze, że

BE = 2R − AE = 2R − (R − a) = R + a = 2x.

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych AED i DEB mamy

AE DE ----= ---- DE EB DE 2 = AE ⋅2x / : x2 ( )2 DE-- = 2 ⋅ AE- x x 2 sin α = 2co sα 1− cos2α = 2cos α.

Podstawiamy teraz t = cosα .

2 t + 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = −2-−-2---2-= − 1 − 2 ∨ t = −-2-+-2--2-= − 1 + 2. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (bo jest kątem ostrym) i mamy √ -- cosα = − 1+ 2 .

Sposób III

Podobnie jak poprzednio zauważamy, że 1 x = 2(a + R ) .

Tym razem wyliczymy cos∡A z trójkąta prostokątnego ABD (jest on prostokątny, bo jest średnicą okręgu). Mamy

1 cos∡A = AD-- = x--= 2(a-+-R-) = -1a + 1-. AB 2R 2R 4R 4

A więc tak jak w I sposobie musimy wyliczyć iloraz a R- . Tym razem korzystamy z podobieństwa trójkątów AED i ADB (oba są prostokątne i mają wspólny kąt).

AE AD ---- = ---- AD AB R-−--a = x-- x 2R x2 = 2R(R − a) 1-(a2 + 2aR + R 2) = 2R 2 − 2Ra / ⋅4 4 a2 + 10aR − 7R 2 = 0 √ -- Δ = 100R 2 + 28R 2 = 128R 2 = (8 2R )2 √ -- √ -- a = −-10R-+-8--2R--= − 5R + 4 2R . 2

Zatem

√ -- -- cos∡A = -1a + 1-= −-5R-+--4--2R-+ 1-= √ 2 − 1 . 4R 4 4R 4

Sposób IV

Robimy rysunek.

Powinno być jasne, że promień okręgu i długość krótszej podstawy jednoznacznie wyznaczają trapez (rysujemy okrąg o promieniu , cięciwę długości i cała reszta trapezu jest już jednoznacznie wyznaczona). Korzystając z tej obserwacji mamy plan działania: wyliczymy założenia i szukany cosinus w zależności od i i z założeń będzie pewnie wynikać wartość cosinusa (jeżeli zadanie ma sens).