Zadanie nr 4899344

Wiedząc, że ∘ √ -- √ -- α = 30 , |OD | = 3 , |OC | = 6 3, |AB | = 5 oraz AD ∥ BC , oblicz pole i obwód trapezu ABCD przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie

Podpiszmy podane długości odcinków.

Korzystając z twierdzenia Talesa, łatwo obliczyć długość odcinka .

OA--= AB-- OD DC OA 5 √---= -√--- ⇒ OA = 1. 3 5 3

W takim razie możemy policzyć pola trójkątów OAD i OBC (ze wzoru z sinusem). Pole trapezu to różnica pól tych trójkątów

1 1 PABCD = POBC − POAD = -OB ⋅OC sin 30∘ − --OA ⋅OD sin30 ∘ 2 2 √ -- √ -- 1 √ -- 1 1 √ -- 1 √ -- 3 35 3 = 2-⋅6 ⋅6 3 ⋅2-− 2-⋅1 ⋅ 3 ⋅2-= 9 3 − -4--= --4---.

Do wyliczenia obwodu brakuje nam jeszcze długości odcinków i . Długość pierwszego z nich możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie OAD .

AD 2 = OA 2 + OD 2 − 2OA ⋅OD cos 30∘ √ -- √ -- AD 2 = 1+ 3− 2⋅1 ⋅ 3 ⋅--3-= 4− 3 = 1 2 AD = 1.

Do wyliczenia długości odcinka wystarczy nam już twierdzenie Talesa.

AD BC OA-- = OB-- 1-= BC-- ⇒ BC = 6 . 1 6

Zatem obwód trapezu jest równy

√ -- √ -- AB + BC + CD + AD = 5 + 6+ 5 3 + 1 = 12 + 5 3.

Odpowiedź: Pole: √- 354-3- , obwód: √ -- 12+ 5 3