/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 8769754

Trapez równoramienny o przekątnej długości d i ramieniu długości c jest opisany na okręgu. Wykaż, że odległość środka okręgu wpisanego w ten trapez od końca krótszej podstawy jest równa ∘ ------------------- 1 2c2 − 2c √ 2c2 − d 2 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację. Oznaczmy CD = a , AB = b oraz niech 2r będzie wysokością trapezu (wtedy oczywiście r jest promieniem okręgu wpisanego w trapez). Dorysujmy też wysokości DD ′ i CC ′ trapezu.

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. W szczególności

a+ b = 2c.

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe mają długość ′ ′ b−a- AD = BC = 2 . W takim razie

b − a a+ b AC ′ = AD ′ + C′D ′ = ------+ a = -----= c. 2 2

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AC ′C .

∘ --------------- ′ 2 ′ 2 ∘ --2---2 2r = CC = AC − (AC ) = d − c .

To z kolei powinno nam pozwolić obliczyć a . Patrzymy na trójkąt prostokątny AD ′D .

∘ --------------- ∘ -------------- ′ 2 ′ 2 2 2 2 ∘ --2----2- AD = AD − (DD ) = ---c-−-(d − c ) = 2c − d ′ ′ ∘ 2 2 a = AC − AD = c − 2c − d .

Patrzymy wreszcie na trójkąt prostokątny ESC .

( ) SC 2 = SE 2 + EC 2 = r2 + a- 2 = 2 1 ( 2 2 2 ∘ --2----2- 2 2 ) = 4- d − c + c − 2c 2c − d + (2c − d ) = ( ∘ --------) = 1- 2c2 − 2c 2c2 − d2 . 4

Stąd

1∘ --------∘---------- SC = -- 2c2 − 2c 2c2 − d2. 2
Wersja PDF