Zadanie nr 9779225

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne i trapezu przecinają się w punkcie . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

Ponieważ podstawa jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny, skąd

∘ ------------ ∘ --------- ∘ ------- √ -- BD = AB 2 − AD 2 = 122 − 62 = 6 2 2 − 1 = 6 3.

Obliczmy teraz wysokość trójkąta ABD (a więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów AED i ADB ).

1 1 -AB ⋅DE = --AD ⋅DB /⋅ 2 2 2 √ -- 12 ⋅DE = 6 ⋅6√ 3- ⇒ DE = 36---3 = 3√ 3-. 12

Obliczamy teraz długość CD = a drugiej postawy trapezu. Z trójkąta prostokątnego AED mamy

AE 2 + ED 2 = AD 2 2 √ --2 2 (6− 0,5a) + (3 3) = 6 (6− 0,5a)2 = 9 = 3 2 6− 0,5a = 3 0,5a = 3 ⇒ a = 6.

Zauważmy teraz, że trójkąty ABP i CP D są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy skalę ich podobieństwa: BA- k = CD = 2 . W takim razie

2 2 √ -- √ -- AP = BP = -DB = --⋅6 3 = 4 3 . 3 3

Łatwo też obliczyć pole trójkąta ABP .

1 1 2 √ -- √ -- PABP = --AB ⋅PS = --⋅12 ⋅--⋅DE = 4⋅3 3 = 12 3. 2 2 3

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP obliczamy korzystając ze wzoru na pole

PABP = pr,

gdzie

1 √ -- p = --(AB + AP + BP ) = 6 + 4 3 2

jest połową obwodu trójkąta ABP . Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- r = PABP- = -12--√3--= -√6--3---= 6--3(2--3-−-3)-= 2 3(2 3 − 3) = 12 − 6 3. p 6+ 4 3 2 3+ 3 12− 9

Pole koła jest więc równe

√ -- √ -- P = πr 2 = π(1 2− 6 3)2 = 36(2 − 3)2π = √ -- √ -- = 36(4 − 4 3 + 3 )π = 3 6(7− 4 3)π .

Sposób II

Zanim zabierzemy się za rachunki przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji opisanej w treści zadania. Zauważmy, że każdy z trójkątów ASD i BSC jest równoramienny:

AS = SD = SC = SB = 6

To w połączeniu z długością ramienia trapezu równą 6 oznacza, że każdy z tych dwóch trójkątów jest równoboczny. W takim razie równoboczny jest też trójkąt DSC (bo ∡DSC = 1 80∘ − 60∘ − 60∘ = 60 ∘ oraz SD = SC = 6 ). To oznacza, że dany trapez to połowa sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Jeżeli oznaczamy przez