Zadanie nr 9875892

Kąty ostre trapezu opisanego na okręgu mają miary i , a pole tego trapezu jest równe . Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Sposób I

Z trójkątów prostokątnych AED i F BC mamy

-h-- = sin α ⇒ AD = --h-- AD sin α -h-- --h-- BC = sin β ⇒ BC = sinβ .

Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc sumy przeciwległych boków są równe, stąd

( 1 1 ) h (sin α + sinβ ) AB + CD = AD + BC = h -----+ ----- = ----------------. sin α sin β sin αsin β

Stąd pole jest równe

∘ -------------- AB + CD h2(sinα + sin β) 2P sin αsin β P = ----------⋅h = ----------------- ⇒ h = -------------. 2 2 sinα sinβ sin α + sin β

Promień okręgu wpisanego to połowa tej wielkości

∘ -------------- ∘ ---------------- 1 2P sinα sinβ P sin αsin β r = -- ------------- = ---------------- 2 sin α+ sin β 2(sin α + sin β)

Sposób II

Tym razem dorysujmy dwusieczne kątów trapezu – przetną się one w środku okręgu wpisanego. Ponieważ ∡ADC = 180∘ − α oraz ∡DCB = 180∘ − β mamy

AG-- α- α- r = ctg 2 ⇒ AG = rctg 2 GB β β ----= ctg -- ⇒ GB = r ctg-- r 2( ) 2 DH-- = ctg 90∘ − α- = tg α- ⇒ DH = rtg α- r ( 2) 2 2 HC ∘ β β β -r--= ctg 90 − -2 = tg 2- ⇒ HC = rtg 2-.

Zatem ze wzoru na pole mamy

AG + GB + DH + HC ( α β α β ) P = -----------------------⋅ 2r = r2 ctg -+ ctg-- + tg--+ tg-- ∘ ---------2----------------- 2 2 2 2 P r = -----------β------------β- ctg α2 + ctg 2-+ tg α2 + tg2-

Odpowiedź: ∘ ------------ ∘ ------------------- 2(Pssininαα+ssininββ) = ---α----βP---α---β ctg2+ ctg2+ tg 2+tg2