/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 2656717

Punkt D leży na boku BC trójkąta ABC oraz |AB | = 14 , |BD | = 1 2 , |CD | = 2 39 i √ --- |AC | = 4 15 ⋅|AD | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

PIC

Piszemy twierdzenia cosinusów w trójkątach ABD i ABC .

{ AD 2 = AB 2 + BD 2 − 2AB ⋅ BD co sβ AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅BC co sβ. { x 2 = 196 + 144 − 33 6cos β 2 2 40x = 19 6+ 6 3001 − 7028 cos β.

Odejmujemy teraz od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 240.

0 = 6319 7− 81600 − 7028 cos β+ 80640 cosβ 1840 3 1 184 03 = 7361 2cos β ⇒ cosβ = ------ = --. 7361 2 4

Podstawiamy tę wartość do pierwszego równania

2 x = 34 0− 336co sβ = 3 40− 84 = 256 ⇒ x = 16.

Pole trójkąta ABC obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Pole obliczymy ze wzoru na pole z sinusem. Zauważmy najpierw, że

∘ ---------- ∘ ------- √ --- 2 -1- --15- sin β = 1− cos β = 1 − 16 = 4 .

Pole trójkąta jest więc równe

√ --- √ --- 1 1 1 5 17 57 15 PABC = 2-AB ⋅ BC sinβ = 2-⋅14 ⋅251 ⋅--4-- = ----4----.

Sposób II

Pole możemy też obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- PABC = p(p − a)(p − b )(p− c)

gdzie

--- --- a+ b+ c 14 + 25 1+ 64√ 15 265 + 64√ 15 p = ---------= ------------------ = ------------- 2 2 2

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

∘ ---------√--------------√----------------√--------------√---- 2-65+--64--15 23-7+--64--15 −-237-+-64---15 265-−-64---15 PABC = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ∘ ----------√--------------√-------√--------------√----------- (2 65+ 64 15)(265 − 6 4 15)(64 15 + 2 37)(64 15 − 237 ) = --------------------------------------------------------------= ∘ ----------------------------4---- √ ----------- (7 0225 − 61440 )(61440 − 5616 9) 8 785⋅ 5271 = ----------------------------------- = ------------- = √ ---------------4---- √ --- 4 = --5-⋅7⋅-251⋅-3⋅7-⋅251-= 175-1--15. 4 4

 
Odpowiedź: 1757√15 4

Wersja PDF