/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 3934640

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Oblicz pole trójkąta ABC jeżeli pole trójkąta DEF jest równe 2.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki AE ,BF i CD .

PIC

Zauważmy teraz, że każde dwa z utworzonych trójkątów mają równe pola.
Trójkąty AF E i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z E , więc

PAFE- -AF- PDEF = DF = 1 ⇒ PAFE = 2.

Trójkąty BF D i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z F , więc

PBFD- BD-- PDEF = DE = 1 ⇒ PBFD = 2.

Trójkąty CED i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z D , więc

PCED-- CE-- PDEF = EF = 1 ⇒ PCED = 2.

Analogicznie uzasadniamy, że

PABF = PBFD = 2 PBCD = PCED = 2 PCAE = PAFE = 2.

W takim razie

PABC = 7 ⋅PDEF = 14.

 
Odpowiedź: 14

Wersja PDF