Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=17 i |BC|=10. Na boku AB... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Pole, 4686652

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 4686652

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AC | = 17$ i $|BC | = 10$ . Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $|AD | : |DB | = 3 : 4$ oraz $|DC | = 1 0$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Oznaczmy $∡BDC = α$ . Wtedy oczywiście $∡ADC = 180 ∘ − α$ . Piszemy teraz twierdzenia cosinusów w trójkątach $BDC$ i $ADC$ .

{ BC 2 = DB 2 + DC 2 − 2DB ⋅DC co sα 2 2 2 ∘ { AC = DA + DC − 2DA ⋅DC co s(180 − α) 100 = 16x 2 + 100− 80x cosα / : 16 289 = 9x 2 + 1 00+ 60x cosα / : 3. { 2 5xco sα = x 63 = 3x 2 + 20x cos α.

Podstawiamy teraz $x2 x cosα = 5$ z pierwszego równania do drugiego.

x2 6 3 = 3x2 + 20 ⋅--- 5 6 3 = 7x2 ⇒ x = 3.

W takim razie $AB = 7x = 21$ i pole trójkąta $ABC$ możemy obliczyć ze wzoru Herona.

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie $a+b+c- 10+-17+-21- p = 2 = 2 = 24$ jest połową obwodu. Mamy zatem

√ ------------ √ ---------- P = 24⋅ 14⋅7 ⋅3 = 4 3⋅7 ⋅7 ⋅3 = 4 ⋅7 ⋅3 = 84.

Sposób II

Tym razem obejdziemy się bez twierdzenia cosinusów. Dorysujmy wysokość $CE$ opuszczoną z wierzchołka $C$ . Zauważmy, że trójkąt $DBC$ jest równoramienny, więc $DE = EB = 2x$ . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkątach $AEC$ i $DEC$ .