Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4839875

W trójkącie rozwartokątnym ABC o kącie rozwartym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD i otrzymano równoramienny trójkąt ACD . Długości boków AB i AC są odpowiednio równe  √ -- |AB | = 4(1+ 3) i  √ -- |AC | = 4 2 . Oblicz pole powierzchni koła opisanego na trójkącie ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Wiemy, że trójkąt prostokątny ACD jest równoramienny, więc jest to połówka kwadratu i

CD = AD = A√C--= 4 . 2

Stąd

 √ -- √ -- DB = AB − AD = 4+ 4 3− 4 = 4 3.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym CDB .

 ∘ ------------ √ -------- √ --- BC = CD 2 + DB 2 = 16 + 48 = 64 = 8

(mogliśmy też zauważyć, że trójkąt CDB to połówka trójkąta równobocznego).

Zastanówmy się do czego zmierzamy – promień R koła opisanego na trójkącie ABC możemy z twierdzenia sinusów

 BC 8 16 8 2R = ------- = √--= √--- ⇒ R = √--. sin ∡A -22 2 2

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z twierdzenia sinusów, to do tego samego wniosku możemy dojść porównując dwa wzory na pole

1bcsin ∡A = PABC = abc- ⇒ R = ---a-----= √8-. 2 4R 2sin∡A 2

Pole koła opisanego na trójkącie ABC jest więc równe

πR 2 = π ⋅ 64-= 32π . 2

 
Odpowiedź: 32π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!