Zadanie nr 4839875
W trójkącie rozwartokątnym o kącie rozwartym przy wierzchołku
poprowadzono wysokość
i otrzymano równoramienny trójkąt
. Długości boków
i
są odpowiednio równe
i
. Oblicz pole powierzchni koła opisanego na trójkącie
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Wiemy, że trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc jest to połówka kwadratu i

Stąd

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .

(mogliśmy też zauważyć, że trójkąt to połówka trójkąta równobocznego).
Zastanówmy się do czego zmierzamy – promień koła opisanego na trójkącie
możemy z twierdzenia sinusów

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z twierdzenia sinusów, to do tego samego wniosku możemy dojść porównując dwa wzory na pole

Pole koła opisanego na trójkącie jest więc równe

Odpowiedź: