/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 6072079

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB | = 15 i |AC | = 12 oraz cosα = 45 , gdzie α = ∡BAC . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD | = 2|AD | i |AE | = 2|CE | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole

  • trójkąta ADE .

  • czworokąta BCED .

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy sin α .

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- 2 16- -9- 3- sinα = 1 − cos α = 1− 25 = 25 = 5.

  • Zauważmy najpierw, że

    1 AD = -AB = 5 3 AE = 2AC = 8. 3

    Obliczamy teraz pole trójkąta ADE – korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.

    1- 1- 3- PADE = 2AD ⋅AE sin α = 2 ⋅5 ⋅8 ⋅5 = 12.

     
    Odpowiedź: PADE = 12

  • Obliczamy najpierw pole trójkąta ABC .

    1 1 3 PABC = -AB ⋅AC sinα = --⋅15 ⋅12 ⋅--= 54. 2 2 5

    Pole czworokąta BCED jest więc równe

    PBCED = PABC − PADE = 54 − 12 = 42.

     
    Odpowiedź: PBCED = 42

Wersja PDF