/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 6159565

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB | = 18 i |AC | = 15 oraz cosα = 35 , gdzie α = ∡BAC . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD | = 1 |AB | 2 i |AE | = 2|CE | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole

  • trójkąta ADE .

  • czworokąta BCED .

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy sin α .

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- 2 9-- 16- 4- sinα = 1 − cos α = 1− 25 = 25 = 5.

  • Zauważmy najpierw, że

    1 AD = -AB = 9 2 AE = 2AC = 10. 3

    Obliczamy teraz pole trójkąta ADE – korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.

    1- 1- 4- PADE = 2AD ⋅ AE ⋅sin α = 2 ⋅9 ⋅10 ⋅5 = 36.

     
    Odpowiedź: PADE = 36

  • Obliczamy najpierw pole trójkąta ABC .

    1 1 4 PABC = -AB ⋅AC ⋅sinα = --⋅18 ⋅15 ⋅--= 108. 2 2 5

    Pole czworokąta BCED jest więc równe

    PBCED = PABC − PADE = 108− 36 = 72 .

     
    Odpowiedź: PBCED = 72

Wersja PDF