/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 6399094

Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC , przy czym zachodzą równości |MB | = 3|AM | oraz |LC | = 2 |AL | . Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM . Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta ABC jest równe 528. Oblicz pola trójkątów: AMS ,ALS ,BMS i CLS .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty AMS i BMS mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB , a stosunek ich podstaw jest równy AM : MB = 1 : 3 .

PIC

W takim razie taki sam jest stosunek ich pól, więc możemy je oznaczyć przez x = P AMS i 3x = P BMS . Analogicznie uzasadniamy, że stosunek pól trójkątów ALS i CLS jest równy AL : LC = 1 : 2 , więc możemy je oznaczyć przez y = PALS i 2y = PCLS .

Aby obliczyć x i y potrzebujemy dwa równania wiążące ze sobą te niewiadome. Gdy popatrzymy na rysunek łatwo się domyślić skąd wziąć te równania – wystarczy napisać równania wyrażające pola trójkątów AMC i ALB . Trójkąty AMC i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem

1 1 PAMC = -PABC = -⋅ 528 = 13 2. 4 4

Analogicznie

1 1 PALB = 3-PACB = 3-⋅52 8 = 176.

Pozostało rozwiązać układ równań

{ { x+ y+ 2y = PAMC x + 3y = 132 ⇒ y+ x+ 3x = PALB y + 4x = 176.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 3 (żeby skrócić y ) i mamy

x+ 3y− 3y − 12x = 132 − 528 396 = 11x ⇒ x = 36 .

Stąd y = 17 6− 4x = 32 . Mamy zatem

PAMS = x = 36, PALS = y = 32, PBMS = 3x = 108, PCLS = 2y = 64.

Sposób II

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego, aby obliczyć w jakim stosunku dzielą się odcinki BL i CM . Oznaczmy −→ → AB = a , −→ → AC = b , −→ −→ CS = x ⋅CM , −B→S = y ⋅−B→L . Patrząc na trójkąty ABL ,ACM mamy

( ) −→ −→ −→ → → 1 → → 1 → CS = x ⋅CM = x (CA + AM ) = x − b + --a = −x b + --xa ( 4) 4 −→ −→ −→ → → 1→ → 1- → BS = y ⋅BL = y(BA + AL ) = y − a + 3 b = −y a + 3y b.

Teraz patrzymy na trójkąt BSC .

−→ −→ −→ BS + SC = BC → ( → ) → − y→a + 1y b − −x b + 1x →a = − →a + b 3 4 ( 1 ) → ( 1 ) → → → −y − --x a + -y + x b = − a + b . 4 3

Porównujemy teraz współczynniki przy → a i → b po obu stronach równości i mamy

{ y + 1x = 1 1 4 3y+ x = 1

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 1 4 (żeby skrócić x ).

y− 1-y = 1− 1- 12 4 11- 3- 12- 12y = 4 /⋅ 11 3 1 2 9 y = --⋅--- = ---. 4 1 1 11

Stąd

1 1 9 8 x = 1 − --y = 1 − --⋅---= ---. 3 3 11 11

Teraz patrzymy na trójkąty ABS i ABC – trójkąty te mają wspólną podstawę, a stosunek ich wysokości jest równy

MS MC − CS CS 8 3 ---- = ----------= 1− ---- = 1 − x = 1− ---= --. MC MC MC 11 11

W takim razie

-3- -3- PABS = 11 PABC = 11 ⋅52 8 = 144.

Analogicznie, patrząc na trójkąty ASC i ABC mamy

LS- LB--−-BS- BS- -9- -2- LB = LB = 1 − LB = 1− y = 1 − 11 = 11 2 2 PASC = ---PABC = ---⋅ 528 = 96. 1 1 1 1

Teraz patrzymy na pary trójkątów AMS i BMS oraz ALS i CLS – stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi ich podstaw, więc

1 1 PAMS = -PABS = --⋅1 44 = 36 4 4 PBMS = PABS − PAMS = 144 − 36 = 108 1 1 PALS = -PASC = -⋅9 6 = 32 3 3 PCLS = PASC − PALS = 96 − 32 = 64.

 
Odpowiedź: PAMS = 36, PALS = 3 2, PBMS = 108, PCLS = 6 4

Wersja PDF