/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 6748743

Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC , przy czym zachodzą równości |MB | = 2|AM | oraz |LC | = 3 |AL | . Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM . Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS ,ALS ,BMS i CLS .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty AMS i BMS mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB , a stosunek ich podstaw jest równy AM : MB = 1 : 2 .

PIC

W takim razie taki sam jest stosunek ich pól, więc możemy je oznaczyć przez x = P AMS i 2x = P BMS . Analogicznie uzasadniamy, że stosunek pól trójkątów ALS i CLS jest równy AL : LC = 1 : 3 , więc możemy je oznaczyć przez y = PALS i 3y = PCLS .

Aby obliczyć x i y potrzebujemy dwa równania wiążące ze sobą te niewiadome. Gdy popatrzymy na rysunek łatwo się domyślić skąd wziąć te równania – wystarczy napisać równania wyrażające pola trójkątów AMC i ALB . Trójkąty AMC i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem

1 1 PAMC = -PABC = -⋅ 660 = 22 0. 3 3

Analogicznie

1 1 PALB = 4-PACB = 4-⋅66 0 = 165.

Pozostało rozwiązać układ równań

{ { x+ y+ 3y = PAMC x + 4y = 220 ⇒ y+ x+ 2x = PALB y + 3x = 165.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 4 (żeby skrócić y ) i mamy

x+ 4y− 4y − 12x = 220 − 660 440 = 11x ⇒ x = 40 .

Stąd y = 16 5− 3x = 45 . Mamy zatem

PAMS = x = 40, PALS = y = 45, PBMS = 2x = 80, PCLS = 3y = 135.

Sposób II

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego, aby obliczyć w jakim stosunku dzielą się odcinki BL i CM . Oznaczmy −→ → AB = a , −→ → AC = b , −→ −→ CS = x ⋅CM , −B→S = y ⋅−B→L . Patrząc na trójkąty ABL ,ACM mamy

( ) −→ −→ −→ → → 1 → → 1 → CS = x ⋅CM = x (CA + AM ) = x − b + --a = −x b + --xa ( 3) 3 −→ −→ −→ → → 1→ → 1- → BS = y ⋅BL = y(BA + AL ) = y − a + 4 b = −y a + 4y b.

Teraz patrzymy na trójkąt BSC .

−→ −→ −→ BS + SC = BC → ( → ) → − y→a + 1y b − −x b + 1x →a = − →a + b 4 3 ( 1 ) → ( 1 ) → → → −y − --x a + -y + x b = − a + b . 3 4

Porównujemy teraz współczynniki przy → a i → b po obu stronach równości i mamy

{ y + 1x = 1 1 3 4y+ x = 1

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 1 3 (żeby skrócić x ).

y− 1-y = 1− 1- 12 3 11- 2- 12- 12y = 3 /⋅ 11 2 1 2 8 y = --⋅--- = ---. 3 1 1 11

Stąd

1 1 8 9 x = 1 − --y = 1 − --⋅---= ---. 4 4 11 11

Teraz patrzymy na trójkąty ABS i ABC – trójkąty te mają wspólną podstawę, a stosunek ich wysokości jest równy

MS MC − CS CS 9 2 ---- = ----------= 1− ---- = 1 − x = 1− ---= --. MC MC MC 11 11

W takim razie

-2- -2- PABS = 11 PABC = 11 ⋅66 0 = 120.

Analogicznie, patrząc na trójkąty ASC i ABC mamy

LS- LB--−-BS- BS- -8- -3- LB = LB = 1 − LB = 1− y = 1 − 11 = 11 3 3 PASC = ---PABC = ---⋅ 660 = 180 . 1 1 1 1

Teraz patrzymy na pary trójkątów AMS i BMS oraz ALS i CLS – stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi ich podstaw, więc

1 1 PAMS = -PABS = --⋅1 20 = 40 3 3 PBMS = PABS − PAMS = 120 − 40 = 80 1 1 PALS = -PASC = -⋅ 180 = 45 4 4 PCLS = PASC − PALS = 18 0− 45 = 135.

 
Odpowiedź: PAMS = 40, PALS = 4 5, PBMS = 80, PCLS = 13 5

Wersja PDF