/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 7298436

W trójkącie ABC dwa kąty przy wierzchołkach A i B mają odpowiednio miary: 6 0∘ i 45∘ . Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że długość boku AC jest równa √ -- 6 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Dorysujmy wysokość CD opuszczoną z wierzchołka C i niech AD = x , DB = y . Z trójkątów prostokątnych ADC i DBC mamy

√ -- -h--- ∘ --3- 6√ 3-= sin 60 = 2 ⇒ h = 9 √ -- -x√---= cos60 ∘ = 1- ⇒ x = 3 3 6 3 2 h --= tg 45∘ = 1 ⇒ y = h = 9 . y

Pozostało obliczyć pole.

√ -- √ -- P = 1-AB ⋅h = 1-(x+ y)h = 1(3 3 + 9) ⋅9 = 27-(--3+--3). 2 2 2 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów. Aby to zrobić obliczymy najpierw sin ∡C . Liczymy

sin ∡C = sin(180∘ − (60 ∘ + 45 ∘)) = sin (60∘ + 45∘) = ∘ ∘ ∘ ∘ = s√in6 0√cos 45√ +- sin 45√ cos6√0-= 3 2 2 1 6 + 2 = ----⋅ ---+ ----⋅--= ---------. 2 2 2 2 4

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy teraz obliczyć długość boku AB = c .

AC AB -------= ------- sin ∡B√ -- s√in∡C √ -- 6√-3- --6-+---2- √ --√ -- √ -- c = -2- ⋅ 4 = 3 3( 3 + 1) = 3(3+ 3). 2

Pozostało obliczyć pole trójkąta.

√ -- √ -- √ -- √ -- P = 1-AC ⋅AB sin 60∘ = 1⋅6 3⋅3 (3+ 3)⋅---3 = 27-(3+----3). 2 2 2 2

 
Odpowiedź: √- 27(-3+-3) 2

Wersja PDF