Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9643596

W trójkącie ABC dane są: |BC | = 7 , |AB |+ |AC | = 13 , |AB |⋅|AC |⋅co s∡BAC = 20 . Oblicz pole tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy c = AB , b = AC i α = ∡A .


PIC


Przy tych oznaczeniach podane informacje możemy zapisać w postaci

{ b + c = 13 bc cosα = 20.

Aby pozbyć się w tym układzie cosα piszemy twierdzenie cosinusów.

 2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅ AC co sα 49 = b2 + c2 − 2bcc osα 2 49 = (b + c) − 2bc − 2 ⋅20 89 = 16 9− 2bc ⇒ 2bc = 80 ⇒ bc = 40.

Otrzymujemy stąd

 20- 1- ∘ cos α = bc = 2 ⇒ α = 60 .

Ponadto liczby b i c spełniają układ równań

{ b+ c = 13 bc = 40.

Na mocy wzorów Viète’a liczby te są rozwiązaniem równania

x 2 − 13x + 40 Δ = 169 − 16 0 = 9 x = 13-−-3-= 5 lub x = 13-+-3-= 8. 2 2

Mamy stąd (b,c) = (5,8) lub odwrotnie. W obu przypadkach pole trójkąta ABC jest równe

 √ -- 1- 1- ∘ 1- --3- √ -- PABC = 2 ⋅AB ⋅ AC sin α = 2 bcsin 60 = 2 ⋅5 ⋅8 ⋅ 2 = 10 3.

 
Odpowiedź:  √ -- 10 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!