/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 9655650

Na bokach BC ,CA i AB trójkąta ABC wybrano punkty K,L ,M takie, że

BK--= CL--= AM---= k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KC LA MB

Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Pole trójkąta KLM obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC pole trójkątów AML ,BKM i CLK . Zauważmy najpierw, że z założenia AM = k⋅MB , więc

AM--- ----AM----- ---k-⋅MB------ --k--- AB = AM + MB = k⋅ MB + MB = k+ 1.

Podobnie

AL-- ----AL------ --1--- AC = AL + k⋅ AL = k + 1 .

Korzystamy teraz ze wzoru z sinusem.

P = 1-AM ⋅AL sin∡A = 1-⋅ --k--⋅AB ⋅ --1--AC sin ∡A AML 2 2 k+ 1 k+ 1 k 1 k = -------2 ⋅--AB ⋅ AC sin ∡A = -------2PABC . (k + 1) 2 (k+ 1)

Analogicznie obliczamy

---k---- PBKM = PCLK = (k + 1 )2 PABC .

Mamy zatem

3k PKLM = PABC − PAML − PBKM − PCLK = PABC − -------2PABC = ( ) (k + 1) --3k---- (k-+-1)2-−-3k -k2 −-k-+-1 = 1 − (k+ 1 )2 PABC = (k+ 1)2 PABC = k2 + 2k+ 1PABC .

Zatem

2 PKLM--= k--−-k-+-1-. PABC k2 + 2k+ 1

 
Odpowiedź: PKLM-= -k2−k+-1 PABC k2+2k+1

Wersja PDF