Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9932598

Udowodnij, że trzy środkowe rozcinają trójkąt na sześć części o równych polach.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Sposób I

Zauważmy, że trójkąty AF C i F BC mają wspólną wysokość z trójkątem ABC (opuszczoną z wierzchołka C ). Ponadto, podstawy w tych trójkątach, na które jest opuszczona ta wysokość są dwa razy krótsze, niż podstawa trójkąta AB . To oznacza, że

 1 PAFC = PFBC = -PABC . 2

Wiemy ponadto, że punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). To oznacza, że

 1 PAFS = -PAFC 3 PFBS = 1PFBC 3

(trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą CF , oraz SF = 13 CF). Stąd

PAFS = PFBS = 1-PABC . 6

Analogicznie uzasadniamy, że

 1- PBSD = PDSC = PCSE = PESA = 6PABC .

Sposób II

Tym razem postaramy się nie korzystać z twierdzenia o stosunku podziału środkowych (tak naprawdę po drodze udowodnimy to twierdzenie).

Zauważmy, że mamy 3 pary trójkątów o równych polach

P1 = PAFS = PSFB P = P = P 2 BSD SCD P3 = PCSE = PESA .

Tak jest, bo trójkąty każdej z tych par mają podstawy równej długości i wspólne wysokości opuszczone na te podstawy, np. dla trójkątów AF S i SF B są to podstawy AF = FB i wysokość opuszczona z wierzchołka S .

Zauważmy ponadto, że

PAFC = PFBC

(trójkąty mają równe podstawy AF = F B i wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C ). Mamy stąd

P1 + 2P3 = P 1 + 2P 2 ⇒ P2 = P 3.

Podobnie, z równości

PABD = PADC

otrzymujemy

P2 + 2P1 = P 2 + 2P 3 ⇒ P1 = P 3.

Udowodniliśmy więc, że

P1 = P2 = P3.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!