Zadanie nr 9932598

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Zauważmy, że trójkąty i mają wspólną wysokość z trójkątem (opuszczoną z wierzchołka ). Ponadto, podstawy w tych trójkątach, na które jest opuszczona ta wysokość są dwa razy krótsze, niż podstawa trójkąta . To oznacza, że

Wiemy ponadto, że punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). To oznacza, że

(trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą , oraz CF). Stąd

Analogicznie uzasadniamy, że

Tym razem postaramy się nie korzystać z twierdzenia o stosunku podziału środkowych (tak naprawdę po drodze udowodnimy to twierdzenie).

Zauważmy, że mamy 3 pary trójkątów o równych polach

Tak jest, bo trójkąty każdej z tych par mają podstawy równej długości i wspólne wysokości opuszczone na te podstawy, np. dla trójkątów i są to podstawy i wysokość opuszczona z wierzchołka .

Zauważmy ponadto, że

(trójkąty mają równe podstawy i wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka ). Mamy stąd

Podobnie, z równości

otrzymujemy

Udowodniliśmy więc, że