Zadanie nr 6362203

Maksymalny zbiór, na którym funkcja rzeczywista

1 f(x ) = -3-----2----2------- x − ax − a x + 35

jest rosnąca jest jedyny i jest niepustym przedziałem postaci ( 2 2 ) −b ,3 b , dla pewnej liczby całkowitej . Wyznacz dziedzinę funkcji oraz jej największą wartość na przedziale [− 2,3] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja f (x) jest rosnąca na przedziale 2 2 2 (−b ,3b ) , to funkcja

1 g (x) = ----- = x3 − ax2 − a2x + 35 f(x )

jest malejąca na tym przedziale. W szczególności pochodna funkcji y = g(x ) musi być ujemna na tym przedziale. Liczymy pochodną

g′(x ) = 3x2 − 2ax − a2

Sprawdźmy jakie są miejsca zerowe pochodnej

Δ = 4a 2 + 1 2a2 = 16a2 2a− 4|a| a − 2|a| 2a + 4|a| a+ 2|a| x = ---------= -------- lub x = --------- = --------. 6 3 6 3

Pochodna funkcji y = g (x) jest więc ujemna na przedziale

( ) { ( ) a − 2|a| a + 2|a| − a3,a jeżeli a ≥ 0 ---3----,---3---- = ( a) a,− 3 jeżeli a < 0.

Z treści zadania wiemy, że przedział ten musi mieć postać ( ) −b 2, 23b (bo gdyby pochodna była ujemna na większym przedziale niż ten przedział, to mielibyśmy dodatkowe przedziały na, na których funkcja byłaby malejąca). Jeżeli a ≥ 0 , to mamy więc układ równań

{ − a= −b 2 3 a = 23b.

Podstawiamy a = 2b 3 z drugiego równania do pierwszego i mamy

( ) { } 2b- 2 2 2- 2- 2- − 9 = −b ⇐ ⇒ 0 = b − 9 b = b b − 9 ⇐ ⇒ b ∈ 0,9 .

Jeżeli b = 0 , to przedział ( 2 2 ) −b ,3b jest pusty, co jest sprzeczne z treścią zadania. Również rozwiązanie b = 2 9 jest sprzeczne z treścią zadania – bo miało być liczbą całkowitą. W takim razie musi być a < 0 i mamy układ równań

{ 2 a = −b − a3 = 23b.

Podstawiamy a = −2b z drugiego równania do pierwszego i mamy

− 2b = −b 2 ⇐ ⇒ 0 = b 2 − 2b = b(b− 2) ⇐ ⇒ b ∈ {0 ,2 }.

Jak już wcześniej zauważyliśmy, rozwiązanie b = 0 jest sprzeczne z treścią zadania, więc mamy b = 2 i a = − 2b = − 4 . Mamy wtedy

g(x ) = x3 + 4x2 − 16x + 3 5

( ) ′ 2 ( a) 4 g (x) = 3x + 8x − 16 = 3(x − a) x + 3- = 3 (x+ 4) x − 3- .

Wyznaczmy jeszcze miejsca zerowe funkcji – szukamy ich wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z miejsc zerowych jest x = − 7 . Dzielimy w takim razie wielomian g(x) przez (x + 7) . My zrobimy to grupując wyrazy

3 2 3 2 2 g(x ) = x + 4x − 16x + 35 = (x + 7x ) − (3x + 21x )+ (5x + 35) = x2(x + 7) − 3x(x + 7 )+ 5(x + 7) = (x+ 7)(x2 − 3x + 5).

Innych pierwiastków już nie ma, bo trójmian w drugim nawiasie ma ujemną –ę. Dziedziną funkcji jest więc zbiór

R ∖ {− 7} = (− ∞ ,− 7)∪ (− 7,+ ∞ ).

Jak już wcześniej zauważyliśmy,

( ) g ′(x ) = 3(x + 4) x − 4- , 3

więc pochodna funkcji jest ujemna na przedziale [ ) − 2, 43 i dodatnia na przedziale ( ] 43 ,3 . W takim razie funkcji maleje na przedziale [ ] − 2, 43 i rośnie na przedziale [4 ] 3,3 . Najmniejszą wartością funkcji na przedziale [− 2,3] jest więc