Zadanie nr 6576392
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność
![a + 32- ≥ 6. a 2](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadT1x.png)
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że , więc daną nierówność możemy przekształcić do postaci
![a + 32-≥ 6 / ⋅a2 a2 a3 − 6a 2 + 3 2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR1x.png)
Aby rozłożyć wielomian z lewej strony nierówności szukamy jego pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego:
![1,− 1,2,− 2,4,− 4,8,− 8,16,− 16,32 ,−3 2.](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR2x.png)
Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy teraz ten wielomian przez
.
![3 2 3 2 2 a − 6a + 32 = a + 2a − 8a − 1 6a+ 16a + 32 = = a 2(a+ 2 )− 8a (a+ 2 )+ 1 6(a+ 2) = (a2 − 8a+ 16)(a + 2).](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR5x.png)
Tak się przyjemnie składa, że trójmian w pierwszym nawiasie to pełen kwadrat
![2 2 a − 8a + 16 = (a − 4) ,](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR6x.png)
więc mamy nierówność
![(a + 2)(a − 4)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR7x.png)
Nierówność ta jest spełniona dla każdej liczby dodatniej . To oznacza, że wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).
Sposób II
Na mocy nierówności
![a + b + c √ ---- --------- ≥ 3 abc 3](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR9x.png)
między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich mamy
![∘ ---------- 32- a2-+--a2 +-32a2 3 a- a- 32- a + a2 = 3 ⋅ 3 ≥ 3 2 ⋅ 2 ⋅a2 = 3⋅ 2 = 6.](https://img.zadania.info/zad/6576392/HzadR10x.png)