/Szkoła średnia/Funkcje/Wymierna

Zadanie nr 7208747

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji x2+3 f (x) = x2−1 .

Rozwiązanie

Dziedziną danej funkcji jest zbiór

Df = (− ∞ ,−1 )∪ (− 1,1) ∪ (1,+ ∞ ).

Pochodną obliczymy na dwa sposoby. W obu sposobach będziemy korzystać ze wzoru na pochodną ilorazu

( f ) ′ f′g− fg′ -- = ---------. g g2

Sposób I

Zauważmy, że

2 2 f(x) = x-+--3-= x-−--1+-4-= 1 + ---4---. x2 − 1 x 2 − 1 x2 − 1

Mamy zatem

( ) ( ) ′ 4 ′ 4 ′ 0 ⋅(x2 − 1)− 4⋅2x − 8x f (x) = 1+ x2-−-1- = x2 −-1- = -----(x2 −-1)2----- = (x-2 −-1-)2.

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla x < 0 i ujemna dla x > 0 . Uwzględniając dziedzinę widzimy, że f rośnie na przedziałach: (− ∞ ,− 1) , (− 1,0⟩ i maleje na przedziałach: ⟨0,1) i (1,+ ∞ ) .

Sposób II

Liczymy pochodną

( )′ ′ x-2 +-3 (x-2 +-3)′ ⋅(x2 −-1)−-(x2 +-3)(x2-−-1)′- f (x) = x 2 − 1 = (x2 − 1)2 = 2 2 2 2 = 2x⋅-(x-−--1)−--(x-+--3)⋅2x--= 2x-⋅(x--−-1-−-x--−-3)-= --−-8x---. (x2 − 1)2 (x 2 − 1)2 (x2 − 1)2

Monotoniczność wyznaczamy tak samo jak poprzednio.

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji f .

ZINFO-FIGURE

 
Odpowiedź: Rosnąca w (− ∞ ,− 1) , (− 1,0⟩ , malejąca w ⟨0,1) i (1,+ ∞ ) .

Wersja PDF