/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 4613352

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 5 2 . Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne BAD i ADC czworokąta ABCD są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy 3 8 . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy sytuację opisaną w treści zadania.

PIC

Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie ABD mamy

--BD--- = 2R sin ∡A √ -- BD 1 0 1 2 sin ∡A = ----= --√---= √---= ---. 2R 10 2 2 2

Wiemy ponadto, że kąt BAD jest ostry, więc ∘ ∡A = 45 . Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc

∡A + ∡C = 1 80∘ ⇒ ∡C = 180∘ − ∡A = 180∘ − 45∘ = 13 5∘.

Zapiszmy teraz warunek z iloczynem sinusów

3- sin ∡A ⋅sin∡B ⋅sin ∡C ⋅sin ∡D = 8 √ -- √ -- --2-⋅sin(18 0∘ − ∡D ) ⋅--2-⋅sin∡D = 3- 2 2 8 1- 2 3- 2 sin ∡D = 8 / ⋅2 3 sin2 ∡D = -. 4

Ponieważ sinus jest dodatni w pierwszych dwóch ćwiartkach, mamy stąd √ - sin ∡D = -23 . Wiemy ponadto, że kąt ADC jest ostry, więc ∡D = 60∘ . Stąd

∡B = 180∘ − ∡D = 180∘ − 60∘ = 120∘.

 
Odpowiedź: ∡A = 45∘,∡B = 1 20∘,∡C = 13 5∘,∡D = 60∘

Wersja PDF