Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4√{3}... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kąty, 7225567

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 7225567

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $√ -- 4 3$ (patrz rysunek). Przekątna $BD$ czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy $136$ . Wiedząc, że $|∡A | < |∡C | < |∡D |$ , oblicz miary kątów czworokąta $ABCD$ .

Rozwiązanie

Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie $ABD$ mamy

BD ------- = 2R sin ∡A √ -- BD-- -12-- -3--- --3- sin ∡A = 2R = 8√ 3-= 2√ 3-= 2 .

Zatem $∡A = 60∘$ lub $∡A = 12 0∘$ . Ponieważ jednak $∡A + ∡C = 180∘$ (własność czworokąta wpisanego w okrąg) i $∡A < ∡C$ musimy mieć $∡A = 60∘$ i $∡C = 120∘$ .

Zapiszmy teraz warunek z iloczynem sinusów

sin ∡A ⋅sin ∡B ⋅sin∡C ⋅sin ∡D = 3-- √ -- √ -- 16 3 3 3 ----⋅sin ∡B ⋅ ---⋅ sin (180∘ − ∡B ) = --- 2 2 1 6 3-sin2∡B = 3-- / ⋅ 4 4 16 3 2 1 sin ∡B = --. 4

Ponieważ sinus jest dodatni w pierwszych dwóch ćwiartkach, mamy stąd $1 sin ∡B = 2$ . Zatem $∘ ∡B = 3 0$ lub $∘ ∡B = 150$ . Ponieważ jednak $∘ ∡B + ∡D = 180$ i $∘ 1 20 = ∡C < ∡D$ musimy mieć $∘ ∡B = 30$ i $∘ ∡D = 150$ .
Odpowiedź: $∡A = 60∘,∡B = 3 0∘,∡C = 120 ∘,∡D = 1 50∘$