/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 7225567

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- 4 3 (patrz rysunek). Przekątna BD czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy 136 . Wiedząc, że |∡A | < |∡C | < |∡D | , oblicz miary kątów czworokąta ABCD .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie ABD mamy

BD ------- = 2R sin ∡A √ -- BD-- -12-- -3--- --3- sin ∡A = 2R = 8√ 3-= 2√ 3-= 2 .

Zatem ∡A = 60∘ lub ∡A = 12 0∘ . Ponieważ jednak ∡A + ∡C = 180∘ (własność czworokąta wpisanego w okrąg) i ∡A < ∡C musimy mieć ∡A = 60∘ i ∡C = 120∘ .

Zapiszmy teraz warunek z iloczynem sinusów

sin ∡A ⋅sin ∡B ⋅sin∡C ⋅sin ∡D = 3-- √ -- √ -- 16 3 3 3 ----⋅sin ∡B ⋅ ---⋅ sin (180∘ − ∡B ) = --- 2 2 1 6 3-sin2∡B = 3-- / ⋅ 4 4 16 3 2 1 sin ∡B = --. 4

Ponieważ sinus jest dodatni w pierwszych dwóch ćwiartkach, mamy stąd 1 sin ∡B = 2 . Zatem ∘ ∡B = 3 0 lub ∘ ∡B = 150 . Ponieważ jednak ∘ ∡B + ∡D = 180 i ∘ 1 20 = ∡C < ∡D musimy mieć ∘ ∡B = 30 i ∘ ∡D = 150 .  
Odpowiedź: ∡A = 60∘,∡B = 3 0∘,∡C = 120 ∘,∡D = 1 50∘

Wersja PDF