Zadanie nr 7225567
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu
(patrz rysunek). Przekątna
czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy
. Wiedząc, że
, oblicz miary kątów czworokąta
.
Rozwiązanie
Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie mamy

Zatem lub
. Ponieważ jednak
(własność czworokąta wpisanego w okrąg) i
musimy mieć
i
.
Zapiszmy teraz warunek z iloczynem sinusów

Ponieważ sinus jest dodatni w pierwszych dwóch ćwiartkach, mamy stąd . Zatem
lub
. Ponieważ jednak
i
musimy mieć
i
.
Odpowiedź: