Zadanie nr 6709593

Jaka jest najmniejsza liczba całkowita , dla której liczba

2 2 2 2 (2 − 1) ⋅(3 − 1)⋅ (4 − 1 )⋅...⋅(n − 1 )

jest kwadratem liczby całkowitej?
A) 6 B) 8 C) 16 D) 27 E) Inna odpowiedź

Rozwiązanie

Przekształćmy podane wyrażenie

2 2 2 2 (2 − 1)⋅(3 − 1) ⋅(4 − 1)⋅ ...⋅(n − 1) = = (2 − 1)(2 + 1)(3 − 1)(3 + 1)(4 − 1)(4 + 1) ⋅...⋅(n − 1)(n + 1 ) = = 1 ⋅3⋅2 ⋅4 ⋅3 ⋅5⋅4 ⋅6 ⋅...⋅(n − 2) ⋅n ⋅(n − 1) ⋅(n + 1) = = 1 ⋅2⋅3 2 ⋅42 ⋅...⋅(n − 1)2 ⋅n(n + 1 ).

W przekształceniu skorzystaliśmy z tego, że oprócz pierwszych dwóch i ostatnich dwóch, każda liczba pojawia dokładnie w dwóch nawiasach. Widać zatem, że liczba ta będzie kwadratem jeżeli kwadratem będzie 2n (n+ 1) .

Można teraz po prostu sprawdzać kolejne wartości , ale można też zauważyć, że bądź , bądź n + 1 musi być kwadratem (bo i n + 1 są względnie pierwsze i tylko jedna z nich może dzielić się przez 2). Sprawdzamy więc tylko n = 3,4,8,9 ... .