/Konkursy/Zadania testowe/Geometria

Zadanie nr 7253051

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa wzajemnie styczne okręgi o równych promieniach mają środki w dwóch przeciwległych wierzchołkach kwadratu. Kolejne dwa okręgi, o środkach w pozostałych wierzchołkach kwadratu, są styczne zewnętrznie do każdego z dwóch poprzednich okręgów (patrz rysunek). Ile razy promień większego okręgu jest większy od promienia mniejszego okręgu?

PIC

A) √ -- 1 + 2 B) 29 C) √ -- 5 D) 2,5 E) 0,8π

Rozwiązanie

Powiedzmy, że dany kwadrat ma bok długości 1.

PIC

Promień większego okręgu to dokładnie połowa długości przekątnej kwadratu, czyli √- R = -2- 2 . Natomiast promień r mniejszego okręgu spełnia równanie

r+ R = 1 √ -- --2- r = 1 − 2 .

Zatem szukany iloraz jest równy

√- √ -- √ -- √ -- √ -- R -2- 2 2(2+ 2) 2 2+ 2 √ -- -- = ---2-√- = ----√---= -------------= ---------= 2 + 1. r 1 − 22- 2− 2 4 − 2 2

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF