Zadanie nr 5788829

Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Jeżeli oznaczymy przez promień dużego okręgu, a przez i promienie mniejszych, to trójkąt, o którym mowa w zadaniu ma boki długości r + r ,R − r ,R − r 1 2 1 2 . Musimy teraz się zastanowić, które dwa z nich są równe. Jeżeli r1 = r2 , to musi być

{ R − r1 = R − r2 = 2 r1 + r2 = 1

(bo trójkąt musi mieć boki 2,2,1, nie ma trójkąta o bokach 1,1,2). Z drugiej równości mamy r = r = 1 1 2 2 , co nam daje R = 2 + r = 5 1 2 .

Jeżeli natomiast r1 ⁄= r2 , to r1 + r2 musi być równe R − r1 lub R − r2 . Ewentualnie zmieniając oznaczenia, możemy założyć, że zachodzi pierwszy z tych przypadków, czyli