/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Granice

Zadanie nr 2104958

Oblicz granicę

3 2 lim -9x--+-6x--+--6x+--4-. x→ − 2318x 3 + 1 2x2 − 3x − 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Wstawiając 2 x = − 3 do licznika i mianownika łatwo się przekonać, że mamy do czynienia z wyrażeniem postaci 00 . Skoro obydwa wielomiany zerują się w x = − 2 3 , to muszą się dzielić przez (x + 2) 3 . Jeżeli uważnie przyjrzymy się licznikowi i mianownikowi, to widać, że łatwo jest tam wydzielić wyrażenie

( ) 3x + 2 = 3 x+ 2- 3

przed nawias. Mamy odpowiednio

3 2 2 2 9x + 6x + 6x + 4 = 3x (3x + 2) + 2(3x + 2 ) = (3x + 2)(3x + 2) 18x3 + 12x2 − 3x − 2 = 6x2(3x + 2) − (3x + 2) = (3x+ 2)(6x2 − 1).

Interesująca nas granica jest więc równa

--9x3 +-6x2-+-6x-+-4- (3x-+-2)(3x2-+-2)- xl→im−21 8x3 + 12x2 − 3x − 2 = xli→m−2 (3x + 2)(6x2 − 1) = 3 3 3x 2 + 2 3 ⋅ 49 + 2 43 + 2 130 = lim 26x-2 −-1-= ---4-----= 8-----= 5--= 2 . x→ − 3 6 ⋅9 − 1 3 − 1 3

 
Odpowiedź: 2

Wersja PDF