/Konkursy/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Koła i okręgi/Okręgi styczne

Zadanie nr 3257507

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kwadracie o boku długości 1 narysowano dwa okręgi jak na rysunku. Jaką wartość ma suma długości promieni tych okręgów?

PIC

A) 12
B) √1- 2
C) √ -- 2 − 1
D) √ -- 2 − 2
E) Suma ta zależy od stosunku promieni tych okręgów

Rozwiązanie

Zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny jest równoramienny, a więc jego bok ma długość (z twierdzenia Pitagorasa)

r + r -1√---2. 2

PIC

Mamy więc równość

r + r r1 + r2 +-1√---2 = 1 2 1 (r1 + r2)(1 + √--) = 1 √ 2- 1-+---2- (r1 + r2)( √ -- ) = 1 2√ -- ----2--- (r1 + r2) = 1+ √ 2- √ --√ -- --2(--2−--1)- r1 + r2 = 1 √ -- r1 + r2 = 2 − 2 .

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF