Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2179190

Wszystkie potęgi liczby 3 oraz wszystkie te dodatnie liczby naturalne, które są skończonymi sumami różnych potęg liczby 3, ustawiamy w ciąg rosnący 1,3,4,9,10,12,13,…Ile jest równy setny wyraz tego ciągu?
A) 150 B) 981 C) 1234 D) 2401 E)  100 3

Wersja PDF
Rozwiązanie

Liczby, o których mowa w zadaniu, to liczby, których zapis w systemie trójkowym składa się z samych 1 i 0.

 (1 )3 = (1)10 (10 )3 = (3)10 (11 )3 = (4)10 (100 )3 = (9)10 (101 )3 = (10)10 (110 )3 = (12)10 (111 ) = (13) 3 10 ...

Sposób I

Łatwo zauważyć, że k -cyfrowych takich liczb jest 2k− 1 – bo liczb k cyfrowych jest dokładnie tyle ile wszystkich liczb o ilości cyfr mniejszej od k (0 traktujemy jako 0-cyfrowe), stąd łatwo indukcyjnie wyznaczyć ich ilość.

Ponieważ  6 2 = 6 4 , więc pierwsze 63 liczby w naszym ciągu (64 razem z 0!), to liczby o mniej niż 7 cyfrach. 64 liczba to pierwsza liczba 7 cyfrowa (10000 00)3 = 36 . Możemy zatem zapomnieć o pierwszej cyfrze i sprowadzamy zadanie do prostszego, musimy ustalić jak wygląda 100 − 64 = 36 liczba w tym ciągu. Robimy to jak poprzednio,  5 36 = 32+ 4 = 2 + 4 , jest to więc 5 liczba 6-cyfrowa, czyli (100100 )3 . Szukana liczba to zatem

 6 5 2 (1100 100)3 = 3 + 3 + 3 = 729 + 2 43+ 9 = 981.

Sposób II

Zauważmy, że liczby wypisane w lewej kolumnie, to dokładnie kolejne liczby naturalne zapisane w systemie o podstawie 2. Zatem setną będzie 100 rozpisane przy podstawie 2, czyli

10 0 = 64 + 32 + 4 = (10 0100)2.

Jako liczba przy podstawie 3, będzie ona równa

(1100 100)3 = 36 + 35 + 32 = 729 + 2 43+ 9 = 981.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!