/Konkursy/Zadania testowe/Liczby/Cyfry liczb naturalnych

Zadanie nr 5720751

Liczba y jest sumą cyfr liczby naturalnej x , a liczba z jest sumą cyfr liczby y . Dla ilu liczb naturalnych x zachodzi równość x + y + z = 60 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Więcej niż 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście liczba x musi być dwucyfrowa i mniejsza niż 60. W takim razie jej suma cyfr y nie będzie większa niż 9+5=14. Wtedy z ≤ 9 . Mamy zatem y + z ≤ 2 3 , co daje x ≥ 37 . Oznaczmy x = 10a + b , gdzie 3 ≤ a ≤ 5 . Wtedy y = a+ b oraz z = a+ b (jeżeli y jest jednocyfrowa) lub z = a+ b− 9 (jeżeli y jest dwucyfrowa). W pierwszym przypadku

x + y + z = (10a + b) + (a + b) + (a + b) = 12a + 3b = 60 4a + b = 20.

Wszystkie rozwiązania tego równania to (3,8),(4,4),(5,0) . Pierwsze odrzucamy bo daje y dwucyfrowe, a dwa następne dają nam liczby 44 i 50.

W drugim przypadku

x + y + z = (10a + b )+ (a + b) + (a + b − 9) = 12a + 3b − 9 = 60 4a + b = 23 .

Rozwiązania tego równania to (4,7 ) i (5 ,3) . Drugie odrzucamy, bo prowadzi do jednocyfowego b a z pierwszego dostajemy liczbę 47.  
Odpowiedź: D

Wersja PDF