/Konkursy/Zadania testowe/Liczby/Potęgi

Zadanie nr 7161394

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dodatnia liczba naturalna a jest najmniejszą liczbą taką, że 1 0a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej, a 6a sześcianem pewnej liczby naturalnej. Ile różnych dzielników ma liczba a ?
A) 30 B) 40 C) 54 D) 72 E) 96

Rozwiązanie

Ponieważ 10a jest kwadratem, to a musi być postaci 2 a = 10b . Wtedy 6a = 22 ⋅3 ⋅5b2 ma być sześcianem, czyli b musi dzielić się przez 3, 5 oraz 22 . Możemy zatem wziąć b = 22 ⋅3 ⋅5 . Wtedy

a = 25 ⋅32 ⋅5 3.

Liczba ta ma

(5+ 1)(2+ 1)(3+ 1) = 72

dzielniki.  
Odpowiedź: D

Wersja PDF